Fracciones

Para comprender qué son las fracciones vamos a empezar con un ejemplo.

La mamá de Pablo ha preparado una deliciosa lasaña de carne para un almuerzo especial, tal como ves en esta imagen:

 

 

Los comensales invitados a este almuerzo son 8, incluyéndola, así que la mamá de Pablo repartirá la lasaña en 8 partes iguales. Veamos:

A cada comensal le tocará una porción igual de la lasaña. En este caso, a cada comensal le tocará 1 de las 8 partes iguales en las que se ha dividido la lasaña.

Cada una de esas partes representa una fracción de la lasaña.

Para entender qué es el numerador y qué es el denominador de una fracción volvemos a nuestro ejemplo de la lasaña.

Observa:

 

 

Nombres de las fracciones

 

Sigamos con nuestro ejemplo para saber cómo se van llamando las fracciones:

En el almuerzo que organizó la mamá de Pablo participaron sólo 6 de las 8 personas que estaban previstas, porque a Carlitos y a su mamá se les presentó un inconveniente y no pudieron asistir.

A continuación te presentamos cómo quedó la bandeja de la lasaña, luego de repartir una porción a cada una de las 6 personas presentes en el almuerzo.

Podemos afirmar varias cosas a partir de esta imagen de la bandeja de lasaña:

• No se comieron 2 de los 8 pedazos de la lasaña. La fracción que representa los pedazos que no se comieron es esta:

²₈

Podemos decir que quedaron “dos octavos” de la lasaña.

 

• Se comieron 6 de los 8 pedazos de la lasaña. La porción que se comieron de la lasaña quedaría en fracción así:

⁶₈

Podemos decir que quedaron “seis octavos” de la lasaña.

 

Nombres de fracciones según su denominador

Observa cómo se denomina cada fracción de acuerdo con el número que tenga en el denominador.

 

Como puedes notar, después del denominador 10 las fracciones toman el nombre del número correspondiente y se le añade el sufijo “avos”.

De manera que, por ejemplo, si el denominador de la fracción es 23 la fracción se denominaría “veintitresavos”.

Veamos estos ejemplos de nombres de fracciones:

 

 

Representación gráfica de las fracciones

Imagina que tu mamá trae una caja con una tarta de limón a casa, pero antes de que puedas abrirla te advierte que de las 6 porciones iguales que traía la tarta, le regaló 2 porciones a su vecina, una para ella y otra para su hijo.

Esto lo podemos representar gráficamente de la siguiente manera:

De esta situación podemos ver lo siguiente:

• La parte blanca del gráfico representa ⁴₆ (cuatro sextos) del pastel de limón, y esa es la cantidad de tarta que quedó para repartir en tu casa.
• Las partes azul y roja juntas representan ²₆ (dos sextos) de la tarta, que fue la parte que tu mamá regaló a la vecina y a su hijo.
• La parte azul corresponde a ¹₆ (un sexto) del pastel, que es la parte que se comerá el hijo de la vecina. Y que además es igual a la fracción del pastel que se comerá su madre, representada por la parte roja.

 

Veamos otras representaciones de fracciones:

En cada caso representamos la porción coloreada de azul.

 

Las fracciones en al vida cotidiana

Veamos ahora diferentes ejemplos que utilizamos de manera normal en nuestra vida diaria.

Ejemplo 1: El agua que tomamos

Ahora veamos algunas equivalencias completando la siguiente tabla:

Observa cómo podemos hacerlo en el caso de un litro y medio o 1,5 litros:

• Tomamos una botella con capacidad de un litro y medio llena de agua, y vamos vertiendo el contenido de la botella en los vasos que usamos regularmente en casa.
• Sabemos que cada vaso representa un cuarto de litro de agua y, además, cada cuarto de litro es equivalente a 250 ml.
• Si sumamos el contenido de cada vaso tenemos:

 

 

Ejemplo 2: El azúcar del pastel de mi mamá

A todos nos gusta un rico pastel para merendar, cada mamá o abuelita tiene su receta. A continuación te presentamos una que queda muy rica.

Receta de ponqué de vainilla

• 250 gramos de mantequilla
• 400 gramos de azúcar
• 5 huevos.
• 500 gramos de harina de trigo
• 1 taza de leche
• 1 cucharadita de ralladura de limón
• 1 cucharadita de esencia de vainilla.

 

La receta dice que se necesitan 400 gramos de azúcar. Veamos que significa esta medida.

Como ejercicio vamos a repartir en cinco partes iguales, y sin que sobre nada, un kilogramo de azúcar.

Al compartir todo el kilogramo de azúcar en cinco partes iguales, nos queda que cada recipiente representa una de las cinco partes en la que ha quedado dividido el kilogramo de azúcar.

Entonces,  cada parte equivale a un quinto de kilogramo.

Cada quinto de kilogramo equivale a 200 gramos. Esto se puede verificar utilizando una balanza.

Para practicar un poco y así  comprender mejor la idea de la fracción de azúcar para el ponqué, presentamos algunas equivalencias en  la siguiente tabla:

Fíjate cómo se hace en el caso de los 400 gramos de azúcar.

• Sabemos que cada parte representa un quinto de kilogramo de azúcar y, además, que cada quinto de kilogramo es equivalente a 200 gramos.
• Si juntamos dos veces ¹₅ kg , tal y como se observa en la figura, obtenemos que 400 gramos equivalen a ²₅ kg.

• Entonces, ²₅ kg equivale a 400 gramos.

Ejemplo 3: La granja de Pedro

La granja de Pedro tiene ⁶₁₆  en cultivos y ⁴₁₆ en cobertizos para gallinas. Para tener una mejor  idea de cómo está distribuido el terreno representaremos gráficamente la parte de cultivos y la parte de los cobertizos.

Como las fracciones que hacen referencia al cultivo y a las gallinas tienen como denominador el 16, entonces dividiremos la unidad en 16 partes iguales.

Luego,  el área del cultivo la pintaremos de color rojo. Mientras que para  los galpones utilizaremos el color verde.

La parte de color rojo representa ⁶₁₆ en cultivos y la de verde los ⁴₁₆ en cobertizos para gallinas.

 

Ejemplo 4: Repartiendo el pastel

Ana  debe repartir dos pasteles entre ella y sus dos hijas. Es decir, se deben repartir 2 pasteles entre tres personas, de tal manera que no sobre nada y que a cada quien le toque la misma cantidad.

¿Qué fracción de pastel le toca a cada persona?

Veamos:

En principio representaremos los pasteles en rectángulos, como se observa en la siguiente figura.

Como son 2 pasteles para 3 personas haremos la siguiente repartición.

A cada persona la hemos identificado con una letra de la siguiente manera:

La letra A se refiere a la mamá, y las letras B y C a sus hijas.

Fíjate que a cada persona le corresponde ¹₃ del primer pastel y ¹₃ del segundo pastel.

Tal y como se observa en la presentación anterior, a cada persona le corresponden ²₃ de pastel.

 

Amplificación y simplificación de fracciones

Como ya sabes, existen las fracciones equivalentes que, aunque son distintas, representan la misma porción de la unidad.

Ahora bien, podemos encontrar fracciones equivalentes usando métodos de amplificación o métodos de simplificación de fracciones, según nos convenga más para operar con ellas.

Por ejemplo, ¹₃es una fracción simplificada de ⁷₂₁.

Por ejemplo, ⁴₁₆es una fracción amplificada de ¹₄.

 

 

Método para simplificar fracciones

Vamos a ver primero la manera de simplificar fracciones de forma gráfica. Tomaremos como ejemplo la fracción ⁷₂₁

Tal como su significado lo indica, simplificar quiere decir hacer algo más simple, más sencillo.

En este caso vamos a simplificar la cantidad de divisiones que se ve en la gráfica pero que siga manteniendo el concepto de fracción en su esencia. Es decir:

• Que quede dividida en partes iguales.
• Que la porción resaltada quede contenida perfectamente en una o varias de estas partes.

Ahora bien, vamos a eliminar las divisiones horizontales para que nos queden tres partes iguales con las divisiones verticales:

Vemos entonces que la fracción ⁷₂₁ quedó simplificada a ¹₃ aplicando el método gráfico.

Ahora vamos a emplear el método numérico para la simplificación de fracciones a la misma fracción que tenemos como ejemplo, es decir a ⁷₂₁:

1. Tomamos el numerador y el denominador de la fracción, y vemos cuáles son los divisores comunes que tienen.

En este caso serían los divisores comunes de 7 y  21, que son el 1 y el 7.

2. Ahora tomamos el mayor de los divisores comunes, y dividimos tanto el numerador como el denominador por ese mismo número para obtener la fracción simplificada:

⁷₂₁=^7÷7_21÷7=¹₃

3. La fracción ha quedado simplificada en una fracción equivalente con números en el denominador y en el numerador que son menores a los iniciales:

⁷₂₁=¹₃

 

 

Métodos para amplificar fracciones

Aquí también empezaremos con la forma gráfica para amplificación de fracciones, y tomaremos como ejemplo el procedimiento para amplificar¹₄.

Ahora, ampliamos la cantidad de partes en la que se ha dividido la unidad, cuidando que no pierda la condición de ser fracción, es decir que quede dividida en partes iguales.

Añadiremos dos divisiones más horizontales y dos divisiones más verticales. Veamos:

Hemos amplificado ¹₄ a su equivalente ⁴₁₆ usando el método gráfico.

Ahora vamos a aprender el método numérico de amplificación de fracciones. Usaremos la misma fracción del ejemplo anterior.

Tomamos ¹₄ y multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo número:

¹₄=^1×4_4×4=⁴₁₆

 

Ejercicios resueltos de simplificación de fracciones:

• Simplificar las siguientes fracciones: a)¹²₂₄ b)²⁸₄₉ c)¹⁶₆₄
• Soluciones:
  • a)¹²₂₄
  • Buscamos los divisores comunes de 15 y 24, que son:
    • D(15, 24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
    • Podemos simplificarla dividiendo el numerador y el denominador por cualquiera de estos números, pues son divisores comunes de ambos.
    • Vamos a tomar el mayor de los divisores comunes para obtener la fracción más simplificada, también llamada fracción irreductible:
      • ¹²₂₄=^12÷12_24÷12=¹₂
    • Nos queda:
      • ¹²₂₄=¹₂

 

• • b) ²⁸₄₉
    • Encontramos los divisores comunes de 28 y 49. D(28,49) = {1, 7}
    • Dividimos numerador y denominador por el mismo número:
      • ²⁸₄₉=^28÷7_49÷7=⁴₇
    • Quedando:
      • ²⁸₄₉=⁴₇

 

• • c) ¹⁶₆₄
    • Los divisores comunes de 16 y 64 son D(16,64)= {1, 2, 4, 8, 16}
    • Simplificamos por 16:
      • ¹⁶₆₄=^16÷16_64÷16=¹₄
    • Obtenemos que:
      • ¹⁶₆₄=¹₄

 

Reducción a Igual Denominador

Este tema es muy importante para poder comparar, sumar y restar fracciones de distintos denominadores de forma sencilla. Por ello es fundamental su comprensión para poder avanzar en el conocimiento de las operaciones con fracciones de forma exitosa.

Un ejemplo de reducción de fracciones a igual denominador es el siguiente:
Tenemos este par de fracciones:

¹₅y²₃

Sabemos que ¹₅es equivalente a³₁₅ y que ²₃es equivalente a ¹⁰₁₅.

Es decir que:

Como ves, ambas fracciones quedaron reducidas a igual denominador.

Ahora bien, ¿cuál es el procedimiento para reducir estas fracciones a igual denominador?

Tenemos dos procedimientos para llevar fracciones a igual denominador:

• El procedimiento gráfico.
• El procedimiento numérico.

Veremos primero en qué consiste el procedimiento gráfico.

1. Para ello tomemos como ejemplo las fracciones siguientes:

2. Fijémonos en los denominadores de ambas fracciones:

• El denominador de la fracción a es 4.
• El de la fracción b es 3.

3. Ahora vamos a dividir la fracción a en 3 partes iguales y a dividir la fracción b en 4 partes iguales.

Es como si “cruzáramos” los denominadores para hacer una nueva representación de la misma porción de la unidad. Observa:

4. Tenemos ahora las fracciones iniciales llevadas a denominadores iguales:

³₄=⁹₁₂ y ¹₃=⁴₁₂

Ahora veremos cuál es el método numérico para llevar fracciones al mismo denominador. Para ello usaremos las mismas fracciones ³₄y ¹₃:

1. Tomaremos el denominador de cada una y amplificaremos la otra usando ese número.

• Para ³₄ usaremos el 3 (que es el denominador de ¹₃)
• Para ¹₃ usaremos el 4 (que es denominador de ³₄)

2. Amplificando cada fracción nos queda:

³₄=^3x3_4x3=⁹₁₂

¹₃=^1x4_3x4=⁴₁₂

Estos métodos serán de mucha utilidad al sumar y restar fracciones.

Veamos algunos ejemplos:

• Ejemplo 1:
  • Llevar ⁴₅y¹₂ a igual denominador.
    • Observamos ambos denominadores y buscamos el mínimo común múltiplo de ambos.
    • El mínimo común múltiplo de 5 y 2 es 10. Es decir m.c.m.(5,2) = 10.
    • Este mínimo común múltiplo será ahora el denominador común de ambas fracciones. Tenemos entonces:

• • • Ahora debemos calcular el numerador de ambas. Es importante recordar que la fracción resultante en cada caso debe ser equivalente a la original:
    • En el caso de ⁴₅ tenemos que ver por cuánto multiplicamos el 5 del denominador para que sea 10. Para ello resolvemos 10 ÷ 5 = 2

• • • Luego multiplicamos el numerador por 2. Es decir, 4 x 2 = 8. Y ese es el denominador de la nueva fracción. Nos queda:

• • • Aplicamos lo mismo para la fracción ¹₂. En este caso, resolvemos 10 ÷ 2 = 5, y después multiplicamos 1 x 5 = 5.

 

• Ejemplo 2:
  • Llevar las fracciones ²₈,³₄y⁵₆ a igual denominador común.
    • Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que son 8, 4 y 6.
    • Nos queda que m.c.m. (8,4,6)=24.
    • Este mínimo común múltiplo de los denominadores será el nuevo común denominador de las tres fracciones.

• • • Ahora dividimos el denominador común entre el denominador original de cada fracción, y luego multiplicamos por el numerador el número resultante en cada caso:

• • • Las fracciones que nos resultaron son:

⁶₂₄—¹⁸₂₄ —²⁰₂₄

 

Orden de las fracciones

Las fracciones representan cantidades, por lo que unas pueden representar más y otras menos. Es decir que algunas fracciones pueden ser mayores o menores que otras fracciones.

Entonces, es posible hablar de una relación de orden entre las fracciones. A continuación te enseñamos a comparar fracciones para reconocer cuál es mayor y cuál es menor, además de poder ordenarlas en forma creciente o decreciente, según lo requieras.

Para determinar si una fracción es mayor o menor que otra debemos compararlas.

En este artículo presentamos tres casos que te ayudarán a comparar fracciones.

Comparación de fracciones de igual denominador

Supongamos que las fracciones que queremos comparar son ¹₄y ³₄.

Lo primero que haremos será representar gráficamente las fracciones ¹₄y ³₄.

	En la representación se observa que la fracción 34 toma una porción de la unidad mayor a la que queda seleccionada cuando representamos 14.
	Esta representación gráfica es una forma de visualizar que: 34 es mayor que 14 También se puede escribir: 34>14

 

Otra manera de visualizar que ³₄ es mayor que ¹₄ es representando ambas fracciones en la recta numérica. Veamos:

• Si suponemos que las fracciones  ¹₄y³₄ indican los saltos que debemos dar en la recta numérica. Entonces, nos damos cuenta que al saltar con la fracción ³₄ nos alejamos más del cero que saltando con la fracción ¹₄.
• Esto quiere decir que ³₄ nos permite recorrer mayor distancia en la recta numérica que ¹₄.

• De esta manera se visualiza que ³₄ es mayor que ¹₄

 

También es posible establecer quién es mayor entre¹₄y³₄relacionándola con un aspecto de la vida cotidiana.

Por ejemplo, supongamos que María compra ¹₄ kg de queso, mientras que Juan compra ³₄ kg de queso. Si queremos saber quién compró más, entonces podemos establecer una tabla de equivalencia. Fíjate:

 

En la tabla se observa que ³₄ kg equivale a 750 g, mientras que ¹₄ kg equivalen a 250 g.

Como 750 g es mayor que 250 g, se puede establecer que³₄ es mayor que ¹₄.

Para comparar las fracciones  ¹₄y³₄ hemos utilizado tres representaciones distintas, lo que nos ha permitido visualizar con total claridad que ³₄ es mayor que ¹₄ .

Si queremos visualizar la comparación de dos o más fracciones de igual denominador podemos apoyarnos en cualquiera de los tres procedimientos anteriores.

 

Comparación de fracciones de igual numerador

Vamos a comparar las fracciones ¹₃—¹₆ —¹₉ para determinar cuál es mayor.

Representemos gráficamente las tres fracciones. La unidad de referencia será de igual tamaño en los tres casos.

	Las tres fracciones tienen como numerador el uno. Fíjate que: 13es la fracción que toma una mayor porción de la unidad. En segundo lugar se ubica 16. Y, por último, tenemos a 19.
	Esto quiere decir que: 13 es mayor que 16 y 16 es mayor que 19
	En lenguaje simbólico se escribe: 13>16>19

 

•  Si comparamos las fracciones ¹₃—¹₆ —¹₉ con la ayuda de la recta numérica resulta lo siguiente:
  • Suponiendo que damos saltos en la recta numérica, tenemos que el salto que nos permite alejarnos más del 0 es el que damos con la fracción ¹₃.
  • El segundo salto más largo sería el de la fracción ¹₆. Y de último quedaría el salto correspondiente a ¹₉.
  • Esto quiere decir que, en este caso, la mayor distancia en la recta se alcanza con la fracción ¹₃, seguida de la fracción  ¹₆, y en último lugar queda la fracción  ¹₉.
  • De esta forma se puede ver que:

¹₃>¹₆>¹₉

 

Comparación de fracciones con numeradores y denominadores distintos

• Vamos a comparar las fracciones ⁸₅—⁷₃ —⁵₄
• Para realizar esta comparación, debemos encontrar fracciones equivalentes a las fracciones dadas, de tal modo que tengan el mismo denominador.
• Vamos a realizarlo a partir de los siguientes pasos:
  • Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones⁸₅—⁷₃ —⁵₄.
  • El procedimiento sería el siguiente:
  • Descomponemos en sus factores primos los denominadores. Esto es: 5 = 5, 3 = 3, 4 = 2².
  • A partir de la descomposición de los denominadores aplicamos la regla del mínimo común múltiplo, quedándonos que el mcm (3, 4, 5) = 60.
  • Este mínimo común múltiplo de los denominadores será el nuevo común denominador de las fracciones que se desean comparar.

• • Seguidamente dividimos el denominador común entre el denominador original de cada fracción. Luego el resultado de cada división lo multiplicamos por el numerador de la fracción que corresponda.

• • Las fracciones obtenidas con de igual denominador:

⁹⁶₆₀—¹⁴⁰₆₀ —⁷⁵₆₀

• • Ahora aplicamos el criterio de comparación de fracciones con igual denominador, el que nos dice: Si dos o más fracciones tienen igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.
  • Entonces, en este caso la fracción mayor es ¹⁴⁰₆₀, seguida por ⁹⁶₆₀, y por último tenemos a ⁷⁵₆₀.
  • Utilizando el símbolo mayor que (>) tenemos: ¹⁴⁰₆₀>⁹⁶₆₀>⁷⁵₆.
  • Volviendo a las fracciones originales ⁸₅—⁷₃ —⁵₄ y sabiendo que⁸₅=⁹⁶₆₀,⁷₃=¹⁴⁰₆₀,⁵₄=⁷⁵₆₀ .
  • Se tiene  que: ⁷₃ es mayor que ⁸₅ y ⁸₅ es mayor que ⁵₄ .
  • Empleando el signo mayor que (>) quedaría así:

⁷₃>⁸₅>⁵₄

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