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Teorema de Thales

El Teorema de Thales es uno de los teoremas fundamentales en la geometría euclídea. Este teorema tiene muchas aplicaciones prácticas tanto dentro de la matemática como en la vida cotidiana.

En este artículo podrás aprender todo lo que requieres saber sobre este teorema: su definición, un poco de historia, además de aplicaciones y ejercicios resueltos.

Algunos conceptos previos para entender mejor el teorema de Thales

 

Antes de empezar a hablar sobre el teorema de Thales debemos claridad sobre algunos conceptos fundamentales en geometría:

 

Rectas paralelas:

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto común, es decir que jamás coinciden en un punto.

Las rectas paralelas jamás se cortan o “se tocan”.

Aquí vemos algunos ejemplos de rectas paralelas:

RECTAS PARALELAS VERTICALESRECTAS PARALELAS HORIZONTALES
ThalesThales para niños
RECTAS PARALELAS OBLICUAS
Thales para niños de primaria

 

En todos los casos anteriores, las rectas L1 y L2 son paralelas.
No importa si son horizontales, verticales u oblicuas, lo importante es saber que las rectas paralelas nunca coincidirán, ni se tocarán.

 

Rectas paralelas en el entorno

En el ambiente y, en general, en la cotidianidad observamos rectas paralelas en muchas circunstancias.
Veamos algunos de los muchísimos ejemplos de rectas paralelas que hay en nuestro entorno:

Thales para niños Primaria

 

Rectas paralelas imaginarias

También podemos trazar de forma imaginaria algunas rectas paralelas a partir de objetos de nuestro entorno.

Fíjate en las siguientes imágenes:

 

REPRESENTACIÓN ORIGINALREPRESENTACIÓN CON RECTAS PARALELAS IMAGINARIAS
Thales para PrimariaThales Primaria

 

Veamos otro ejemplo:

REPRESENTACIÓN ORIGINALREPRESENTACIÓN CON RECTAS PARALELAS IMAGINARIAS
Teorema de ThalesTeorema de Thales para niños

 

Como puedes ver, en la imagen con las rectas paralelas imaginarias los segmentos en rojo son del mismo tamaño que las líneas amarillas puenteadas que van desde el suelo al punto más alto, tanto del hombre como del árbol.

Rectas secantes

Dos rectas son secantes si tienen un punto común. Es decir, si se cortan en un punto.

Todo lo contrario a las rectas paralelas que no tienen punto de corte o coincidencia.

Veamos algunos ejemplos de rectas secantes:

Teorema de Thales para niños de Primaria

 

En los cuatro ejemplos anteriores vemos como L1 y L2 son rectas secantes pues tienen un punto en común donde se cortan.

En el ejemplo 4 vemos un caso muy especial de dos rectas secantes que se cortan formando ángulos de 90º. Estas reciben el nombre de rectas perpendiculares.

 

Rectas paralelas cortadas por rectas secantes

Podemos observar en algunas figuras que las rectas paralelas pueden ser intersectadas por una o más rectas secantes.

Veamos algunos ejemplos:

Teorema de Thales para niños Primaria

 

En los ejemplos anteriores vemos como las rectas paralelas L1 y L2 son cortadas por las rectas secantes L3 y L4.

Podemos notar como se forman segmentos de recta que están determinados por los puntos de intersección A, B, C y D.

Tenemos en cada caso los segmentos:

Teorema de Thales para Primaria

 

Proporcionalidad

Para entender el teorema de Thales debemos recordar de qué trata la proporcionalidad.

La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que aumentan o disminuyen a razón de un número que se llama cociente de proporcionalidad.

Esto quiere decir que si una magnitud se duplica, la otra se duplicará, si una magnitud se triplica la otra también se triplicará. De igual manera, si una magnitud se reduce a la mitad la otra magnitud también lo hará a la mitad.

Veamos este primer ejemplo:

Digamos que 1 kg de pechuga de pollo cuesta 6€. Si compramos 2 Kg de pollo pagaremos 12€, pero si compramos ½ Kg de pollo pagaría 6€. Veamos esta relación en la siguiente tabla:
Teorema de Thales Primaria

El cociente de proporcionalidad que comentamos anteriormente se obtiene, en este caso, al dividir el precio a pagar entre el número de Kg de pollo que compramos. Veamos:

61= 122= 183= 6

 

Cuando disminuye también se cumple. Fíjate:

3 ÷ 12 = 61 = 6 y 2 ÷ 13 = 61 = 6

El cociente de proporcionalidad en este caso es 6.

 

Proporcionalidad en los lados de triángulos semejantes

En Matemática los triángulos que tienen lados proporcionales son semejantes y, recíprocamente, los triángulos semejantes tienen lados proporcionales.

Veamos un ejemplo:

Teorema Thales

En los triángulos 1 y 2 los lados correspondientes son proporcionales, de manera que los triángulos son semejantes y las medidas de sus lados se relacionan así:

Teorema Thales para niños

Veamos cuál es su cociente de proporcionalidad:

Teorema Thales para niños de Primaria

Entonces tenemos que:

Teorema Thales para niños Primaria

 

El cociente de proporcionalidad es 2.

 

Definición del teorema

Los triángulos para la matemática son elementos geométricos de gran importancia. Son muchos los problemas, las modelaciones y visualizaciones que se pueden ejecutar apoyándose en ellos.  Las ideas de semejanza, han permitido formular una serie de proposiciones en las que los triángulos y las proporciones son los protagonistas.

En este artículo hablaremos de uno de los teoremas geométricos más conocidos e importantes, como lo es el  Teorema de Thales.

 

Teorema de Thales

Consideremos el triángulo de vértices ABC.

Teorema Thales para Primaria

En el triángulo de vértices ABC se tiene que AC // DE . A partir de esta condición de paralelismo estableceremos lo siguiente:

  1. Los <BDE y <BAC son de igual medida.
  2. Los <ABC y <DBE son de igual medida.

Por los criterios de semejanza de triángulos y por lo establecido en 1 y 2, podemos afirmar que los ΔABC y ΔDBE son semejantes.

Por lo tanto, se tiene que:
ABDB = CBEB

La relación anterior, es cierta siempre que dos triángulos sean semejantes. Tal y como ocurre con los triángulos ΔABC y ΔDBE representados en la figura.

Si consideramos que las longitudes de los segmentos son las siguientes:

AB = g + h, CB = i + j, DB = g, EB= i

 

  • Entonces, ABDB = CBEB se puede escribir como:  g + hg = i + ji.
  • Reescribiendo la igualdad se tiene:  gg + hg = ii + ji.
  • Simplificando: 1 + hg = 1 + ji
  • Aplicando la ley de la cancelación:  hg = ji
  • Transponiendo términos: h.i = j.g
  • Transponiendo términos nuevamente: ij = gh
  • La expresión anterior es equivalente a:  gh = ij

El resultado obtenido es lo que se conoce con el nombre de Teorema de Thales, el cual puede ser expresado como sigue:

Si una recta paralela a un lado del triángulo intersecta a los otros dos lados en puntos distintos entonces divide a esos lados en segmentos que son proporcionales.

De este Teorema se desprende lo que se conoce como el reciproco del Teorema de Thales, que consiste en afirmar que:

Si una recta intersecta dos lados de un triángulo y divide esos lados en segmentos que son proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado.

Un poco de historia sobre Thales de Mileto y su teorema

Thales nació en Mileto (Jonia) alrededor de del año 630 a.C y murió hacia el año 546 a. C, fue un filósofo y matemático griego. Se le consideró uno de los Siete Sabios de Grecia. Estudió la naturaleza y el universo, bajo la filosofía de la razón.

Ejemplos de ejercicios resueltos con el teorema de Thales

En este apartado presentamos algunos ejercicios resueltos paso a paso. Veamos el primero:

Mileto de Thales

Por el Teorema de Thales sabemos que:

Mileto de Thales para niños

Entonces, el valor de X es igual a 7,71 cm.

Mileto de Thales para niños de Primaria

Aplicando el Teorema de Thales se tiene que:

Mileto de Thales para niños Primaria

 

  • Sabiendo que FD = 7,5 cm, DA = 10 cm, GE = 6 cm y que o, p, q son rectas paralelas, halla la longitud del segmento EC. ¿Qué teorema has aplicado?

Mileto de Thales para Primaria

Por el Teorema de Thales se tiene que:

Mileto de Thales Primaria

 

Aplicaciones del Teorema de Thales

La siguiente proposición:

Si una recta intersecta dos lados de un triángulo y divide esos lados en segmentos que son proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado.

Se puede utilizar para dividir cualquier un segmento dado  en cualquier número de partes congruentes.

Mileto Thales teorema

El Teorema que acabamos de formular garantiza que el segmento  ha quedado dividido en siete segmentos de igual medida.

 

Veamos este otro ejemplo de aplicación del teorema de Thales:

Mileto Thales teorema para niños

Un poste de luz de 12 m de alto proyecta una sombra de 5m a cierta hora del día. ¿Qué altura tendrá un árbol cercano que proyecta una sombra de 4m a la misma hora?

En este caso podemos aplicar el teorema de Thales porque los triángulos formados son semejantes. Es decir que sus lados son proporcionales.

  • De manera que:

12x = 45

  • Nos queda:

12 . 5 = 4x

  • Luego:

604 = x

  • De esto resulta que:

x = 15 metros

  • Por último, el árbol mide 15 metros.