Sistema de ecuaciones
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen varias incógnitas (normalmente \(x\) e \(y\)) y que deben cumplirse al mismo tiempo.
Resolver un sistema significa encontrar los valores de las incógnitas que hacen que todas las ecuaciones se cumplan a la vez.
Tipos de sistemas de ecuaciones
1. Sistema compatible determinado (una única solución)
Es cuando las dos rectas se cortan en un único punto. Eso significa que hay una única solución, es decir, un único valor para \(x\) y para \(y\) que cumple ambas ecuaciones.
Ejemplo:
Paso 1: Sumamos las dos ecuaciones para eliminar una incógnita
Paso 2: Sustituimos el valor de \(x\) en una de las ecuaciones
Solución del sistema: \(\boxed{x = 4,\ y = 2}\)
2. Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)
Es cuando las dos ecuaciones representan la misma recta. En este caso, cualquier punto de esa recta es solución del sistema.
Ejemplo:
Fíjate que la segunda ecuación es la mitad de la primera. Si multiplicamos la segunda por 2:
¡Es la misma ecuación! Esto significa que las dos ecuaciones son iguales, solo escritas de manera diferente.
Solución del sistema: \(\boxed{\text{Infinitas soluciones}}\)
3. Sistema incompatible (sin solución)
Es cuando las rectas son paralelas y no se cortan. Esto significa que no hay ningún punto que cumpla las dos ecuaciones al mismo tiempo.
Ejemplo:
Aparentemente son parecidas, pero si restamos las dos ecuaciones:
Eso es falso, y nos indica que no hay solución.
Solución del sistema: \(\boxed{\text{Sin solución}}\)
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones
🔹 Método 1: Sustitución
Este método consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. Es muy útil cuando una de las ecuaciones ya tiene una incógnita aislada o es fácil de hacerlo.
Ejemplo:
Paso 1: Sustituimos la expresión de \(y\) (que ya está despejada) en la segunda ecuación:
Paso 2: Resolvemos la ecuación con una sola incógnita:
Paso 3: Sustituimos \(x = \frac{12}{5}\) en la primera ecuación:
Solución: \(\boxed{x = \frac{12}{5},\ y = \frac{29}{5}}\)
🔹 Método 2: Igualación
Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar las dos expresiones.
Ejemplo:
Paso 1: Igualamos las dos expresiones de \(y\):
Paso 2: Resolvemos la ecuación:
Paso 3: Sustituimos \(x = 3\) en una de las ecuaciones:
Solución: \(\boxed{x = 3,\ y = 10}\)
🔹 Método 3: Reducción
Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones para eliminar una incógnita. A veces hay que multiplicar una o las dos ecuaciones antes de empezar.
Ejemplo:
Paso 1: Observamos que los coeficientes de \(y\) son +3 y -3. Al sumar se eliminarán:
Paso 2: Sustituimos \(x = 3\) en una ecuación:
Solución: \(\boxed{x = 3,\ y = 2}\)
¿Cuál método usar?
- Sustitución: cuando una ecuación ya tiene una incógnita despejada.
- Igualación: cuando ambas ecuaciones están despejadas respecto a la misma incógnita.
- Reducción: cuando se pueden eliminar incógnitas al sumar o restar.
Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \]
Paso 1: Despejamos \( y \) en la primera ecuación:
\[ y = 5 - x \]
Paso 2: Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2x - (5 - x) = 4 \Rightarrow 2x - 5 + x = 4 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \]
Paso 3: Sustituimos \( x = 3 \):
\[ y = 5 - 3 = 2 \]
Solución:
\[ \boxed{x = 3 \quad ; \quad y = 2} \]
Ejercicio 2: Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ x + y = 6 \end{cases} \]
Paso 1: Despejamos \( x \) en la segunda ecuación:
\[ x = 6 - y \]
Paso 2: Sustituimos en la primera ecuación:
\[ 3(6 - y) - 2y = 8 \Rightarrow 18 - 3y - 2y = 8 \Rightarrow 18 - 5y = 8 \]
Paso 3: Resolviendo:
\[ -5y = -10 \Rightarrow y = 2 \]
Paso 4: Sustituimos en \( x = 6 - y \):
\[ x = 6 - 2 = 4 \]
Solución:
\[ \boxed{x = 4 \quad ; \quad y = 2} \]
Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema por el método de igualación:
\[ \begin{cases} 5x - 4y = -2 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
Paso 1: Despejamos \( x \) en ambas ecuaciones:
\[ x = y + 2 \quad \text{(de la ecuación 2)} \] \[ 5x - 4y = -2 \Rightarrow 5x = 4y - 2 \Rightarrow x = \frac{4y - 2}{5} \]
Paso 2: Igualamos las expresiones de \( x \):
\[ y + 2 = \frac{4y - 2}{5} \]
Paso 3: Multiplicamos ambos lados por 5:
\[ 5(y + 2) = 4y - 2 \Rightarrow 5y + 10 = 4y - 2 \Rightarrow y = -12 \]
Paso 4: Sustituimos en \( x = y + 2 \):
\[ x = -12 + 2 = -10 \]
Solución:
\[ \boxed{x = -10 \quad ; \quad y = -12} \]
Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema por el método de igualación:
\[ \begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 2 \end{cases} \]
Paso 1: Despejamos \( x \) en ambas ecuaciones:
\[ x = y + 6 \quad \text{(de la primera ecuación)} \] \[ x = -y + 2 \quad \text{(de la segunda ecuación)} \]
Paso 2: Igualamos ambas expresiones:
\[ y + 6 = -y + 2 \]
Paso 3: Resolviendo:
\[ 2y + 6 = 2 \Rightarrow 2y = -4 \Rightarrow y = -2 \]
Paso 4: Sustituimos en una de las ecuaciones:
\[ x = y + 6 = -2 + 6 = 4 \]
Solución:
\[ \boxed{x = 4 \quad ; \quad y = -2} \]
Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción:
\[ \begin{cases} 3x + 5y = 28 \\ 5x - 3y = -10 \end{cases} \]
Paso 1: Igualamos los coeficientes de \( x \) multiplicando:
\[ \text{Ecuación (1) por 5: } 15x + 25y = 140 \\ \text{Ecuación (2) por 3: } 15x - 9y = -30 \]
Paso 2: Restamos las ecuaciones:
\[ (15x + 25y) - (15x - 9y) = 140 - (-30) \Rightarrow 34y = 170 \Rightarrow y = 5 \]
Paso 3: Sustituimos \( y = 5 \) en la primera ecuación:
\[ 3x + 5(5) = 28 \Rightarrow 3x + 25 = 28 \Rightarrow x = 1 \]
Solución:
\[ \boxed{x = 1 \quad ; \quad y = 5} \]
Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción:
\[ \begin{cases} x + y = 11 \\ x - y = 3 \end{cases} \]
Paso 1: Sumamos directamente las dos ecuaciones:
\[ (x + y) + (x - y) = 11 + 3 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7 \]
Paso 2: Sustituimos en la primera ecuación:
\[ x + y = 11 \Rightarrow 7 + y = 11 \Rightarrow y = 4 \]
Solución:
\[ \boxed{x = 7 \quad ; \quad y = 4} \]
Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema con el método más adecuado:
\[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + 3y = 11 \end{cases} \]
Usamos el método de sustitución, ya que es fácil despejar \( y \) en la primera ecuación.
Paso 1: Despejamos \( y \) en la primera ecuación:
\[ y = 7 - 2x \]
Paso 2: Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ x + 3(7 - 2x) = 11 \Rightarrow x + 21 - 6x = 11 \Rightarrow -5x = -10 \Rightarrow x = 2 \]
Paso 3: Sustituimos en la expresión de \( y \):
\[ y = 7 - 2x = 7 - 4 = 3 \]
Solución:
\[ \boxed{x = 2 \quad ; \quad y = 3} \]
Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema con el método más adecuado:
\[ \begin{cases} 2(x - 1) = 3(y + 1) \\ x - y = 0 \end{cases} \]
Usamos el método de sustitución, ya que es fácil despejar \( x \) en la segunda ecuación.
Paso 1: De la segunda ecuación obtenemos:
\[ x = y \]
Paso 2: Sustituimos en la primera ecuación:
\[ 2(y - 1) = 3(y + 1) \Rightarrow 2y - 2 = 3y + 3 \Rightarrow -y - 5 = 0 \Rightarrow y = -5 \]
Paso 3: Sustituimos en \( x = y \):
\[ x = -5 \]
Solución:
\[ \boxed{x = -5 \quad ; \quad y = -5} \]
Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema con el método más adecuado:
\[ \begin{cases} \frac{5x - 3y}{2} = 2x + 5 \\ 3(2x + 1) - 4y = 4(1 - 2y) - 7 \end{cases} \]
Paso 1: Simplificamos la primera ecuación:
\[ \frac{5x - 3y}{2} = 2x + 5 \Rightarrow 5x - 3y = 4x + 10 \Rightarrow x - 3y = 10 \]
Paso 2: Simplificamos la segunda ecuación:
\[ 3(2x + 1) - 4y = 4(1 - 2y) - 7 \Rightarrow 6x + 3 - 4y = -3 - 8y \Rightarrow 6x + 4y = -6 \]
Paso 3: Despejamos \( x \) en ambas ecuaciones:
\[ x = 10 + 3y \quad ; \quad x = \frac{-6 - 4y}{6} \]
Paso 4: Igualamos ambas expresiones:
\[ 10 + 3y = \frac{-6 - 4y}{6} \Rightarrow 60 + 18y = -6 - 4y \Rightarrow 22y = -66 \Rightarrow y = -3 \]
Paso 5: Sustituimos en la ecuación para hallar \( x \):
\[ x = 10 + 3(-3) = 1 \]
Solución:
\[ \boxed{x = 1 \quad ; \quad y = -3} \]
Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema con el método más adecuado:
\[ \begin{cases} \frac{2x - 1}{3} = \frac{7y - 8}{2} \\ 3(x - 2) = y + 7 \end{cases} \]
Usamos el método de igualación tras simplificar ambas ecuaciones.
Paso 1: Simplificamos la segunda ecuación:
\[ 3x - 6 = y + 7 \Rightarrow 3x = y + 13 \Rightarrow x = \frac{y + 13}{3} \]
Paso 2: Multiplicamos en cruz la primera ecuación:
\[ 2(2x - 1) = 3(7y - 8) \Rightarrow 4x - 2 = 21y - 24 \Rightarrow 4x = 21y - 22 \Rightarrow x = \frac{21y - 22}{4} \]
Paso 3: Igualamos ambas expresiones de \( x \):
\[ \frac{y + 13}{3} = \frac{21y - 22}{4} \Rightarrow 4(y + 13) = 3(21y - 22) \Rightarrow 4y + 52 = 63y - 66 \Rightarrow -59y = -118 \Rightarrow y = 2 \]
Paso 4: Sustituimos en una ecuación:
\[ 3x = y + 13 = 15 \Rightarrow x = 5 \]
Solución:
\[ \boxed{x = 5 \quad ; \quad y = 2} \]
Ejercicio: Dos cajas de peras y una de manzanas pesan 37 kg. Si una caja de manzanas pesa 4 kg más que una de peras, ¿cuántos kilos pesa cada una?
Sea:
- \( x \): peso de una caja de peras
- \( y \): peso de una caja de manzanas
Sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} 2x + y = 37 \\ y = x + 4 \end{cases} \]
Usamos el método de sustitución:
Sustituimos \( y = x + 4 \) en la primera ecuación:
\[ 2x + (x + 4) = 37 \Rightarrow 3x + 4 = 37 \Rightarrow x = 11 \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ y = x + 4 = 11 + 4 = 15 \]
Solución:
- Caja de peras: \( \boxed{11 \text{ kg}} \)
- Caja de manzanas: \( \boxed{15 \text{ kg}} \)
Ejercicio: Una familia tiene periquitos y perros. Sabiendo que tienen 6 animales en total y 16 patas, ¿cuántos perros y cuántos periquitos hay?
Sea:
- \( x \): número de perros (4 patas)
- \( y \): número de periquitos (2 patas)
Planteamos el sistema:
\[ \begin{cases} x + y = 6 \\ 4x + 2y = 16 \end{cases} \]
Usamos el método de reducción: multiplicamos la primera ecuación por 2:
\[ 2x + 2y = 12 \]
Restamos:
\[ (4x + 2y) - (2x + 2y) = 16 - 12 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ x + y = 6 \Rightarrow 2 + y = 6 \Rightarrow y = 4 \]
Solución:
- Perros: \( \boxed{2} \)
- Periquitos: \( \boxed{4} \)
Ejercicio: María lleva 12 monedas de 20 y 5 céntimos. Sabiendo que el total es 1,50 €, ¿cuántas monedas tiene de cada tipo?
Sea:
- \( x \): número de monedas de 20 céntimos
- \( y \): número de monedas de 5 céntimos
Sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} x + y = 12 \\ 20x + 5y = 150 \end{cases} \]
Usamos el método de reducción: multiplicamos la primera ecuación por 5:
\[ 5x + 5y = 60 \]
Restamos las ecuaciones:
\[ (20x + 5y) - (5x + 5y) = 150 - 60 \Rightarrow 15x = 90 \Rightarrow x = 6 \]
Calculamos \( y \):
\[ x + y = 12 \Rightarrow 6 + y = 12 \Rightarrow y = 6 \]
Solución:
- Monedas de 20 céntimos: \( \boxed{6} \)
- Monedas de 5 céntimos: \( \boxed{6} \)
Ejercicio: Halla un número de dos cifras sabiendo que su valor es igual a cuatro veces la suma de sus cifras, y que si se invierten sus cifras, el número aumenta en 36 unidades.
Sea:
- \( x \): cifra de las decenas
- \( y \): cifra de las unidades
Entonces, el número es \( 10x + y \), y al invertir sus cifras se convierte en \( 10y + x \).
Planteamos el sistema:
\[ \begin{cases} 10x + y = 4(x + y) \\ 10y + x = 10x + y + 36 \end{cases} \]
Simplificamos:
Primera ecuación: \[ 10x + y = 4x + 4y \Rightarrow 6x - 3y = 0 \Rightarrow 2x = y \]
Segunda ecuación: \[ 10y + x = 10x + y + 36 \Rightarrow 9y - 9x = 36 \Rightarrow y - x = 4 \]
Sustituimos \( y = 2x \) en la segunda ecuación:
\[ 2x - x = 4 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 8 \]
Solución:
\[ \boxed{El\ número\ es\ 48} \]
Ejercicio: Calcula dos números que si se suman dan 10, y el doble del primero menos el triple del segundo da cero.
Sea:
- \( x \): primer número
- \( y \): segundo número
Planteamos el sistema:
\[ \begin{cases} x + y = 10 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases} \]
Usamos el método de reducción: multiplicamos la primera ecuación por 2:
\[ 2x + 2y = 20 \]
Restamos las ecuaciones:
\[ (2x + 2y) - (2x - 3y) = 20 - 0 \Rightarrow 5y = 20 \Rightarrow y = 4 \]
Calculamos \( x \):
\[ x + y = 10 \Rightarrow x + 4 = 10 \Rightarrow x = 6 \]
Solución:
- Primer número: \( \boxed{6} \)
- Segundo número: \( \boxed{4} \)