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Potencias de base 10

Las potencias de base diez son muy valiosas para la matemática, esto gracias a la gran utilidad que tienen.

Particularmente las potencias de base 10 de exponente entero positivo, permiten expresar de forma abreviada las unidades enteras (unidades, decenas, centenas, unidades de mil, centenas de mil,…) del Sistema de Numeración Decimal. Veamos:

Órdenes del Sistema de Numeración Decimal Potencia de base 10
Unidad 100 = 1
Decena 101 = 10
Centena 102 = 100
Unidad de mil 103 = 1.000
Decena de mil 104 = 10.000
Centena de mil 105 = 100.000
Unidad de millón 106 = 1.000.000

Por ejemplo, el número 3.000 se puede escribir como 3 x 103. Siendo 103 una manera de abreviar el orden de la unidad de mil.

Además, con este tipo de potencias podemos simplificar la escritura de números muy grandes.

Veamos: 

  1. 7.000.000.000.000.0000 = 7 x 1015.
  2. 15.000.000 = 1,5 x 107.

 

 

Qué son las potencias de base 10

 

La potencia es una operación que sirve para escribir de forma simplificada una multiplicación en la que todos sus factores son iguales. Por ejemplo:

Potencias de base 10 para niños

  • En este caso la base de la potencia es 5 y el exponente es 7. La operación indicada es una multiplicación en la que el 5 aparece 7 veces como factor.

 

Ahora tenemos una potencia de  base 10 y exponente 9, lo que genera una multiplicación en la que el 10 aparece 9 veces como factor.

Potencias de base 10 para niños de primaria

  • En el caso específico de las potencias de base 10 de exponente entero positivo, el resultado queda conformado por la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Veamos:

Potencias de base 10 para niños en primaria

  • En este caso el resultado es igual a la unidad seguida de 9 ceros.

 

 

Ejemplos de potencias de base 10

Las potencias de base 10 de exponente entero positivo, son empleadas para expresar de forma resumida cantidades muy grandes, por lo que son muy importantes para las ciencias naturales, la geografía, la geología, la astronomía, entre otras áreas de conocimiento.

Veamos algunos ejemplos en los que se utilizan las potencias de base 10:

 

  1. La distancia de la Tierra a la Luna es 384.000 km
    • Para escribir 384.000 utilizando potencias de base 10 y un exponente entero positivo realizamos lo siguiente:
    • Colocamos una coma en la primera cifra entera  del número 384.000 que en este caso es el 3. Esto significa que nos movemos 5 puestos a la izquierda.

Potencias de base 10 para primaria

    • Luego se multiplica por 105 para que el número inicial no se altere.

Potencias de base 10

 

    • Concluimos que la distancia de la Tierra a la Luna utilizando potencias de base 10 es 3,84 x 105 km.

 

  1. La distancia de la Tierra al Sol es de 150.000.000 km
    • Vamos a realizar un proceso similar al que ejecutamos en el ejemplo anterior.
    • Escribimos una coma en la primera cifra entera  del número 150.000.000  que en este caso es el 1. Esto significa que nos movemos 8 puestos a la izquierda.

Potencias de base 10 en primaria

    • A continuación se multiplica por 108 para que el número inicial no cambie.

Potencias de base 10 en primaria para niños

    • Entonces, la distancia de la Tierra al Sol queda expresada así 1,5 x 10 8 km.

 

  1. La distancia de la Tierra a Neptuno es de 4.308.000.000 km.
    • La distancia de la Tierra a Neptuno utilizando potencias de base 10 quedaría expresada así: 4,308 x 109 km.

 

  1. La edad del Sol es de aproximadamente 5 x 109 años. Sin embargo, hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol. ¿Cuál es la edad de estos cuerpos?
    • El enunciado nos dice que la edad del Sol es aproximadamente 5 x 109 años y que existen cuerpos que tienen 4 veces la edad del Sol.
    • Queremos saber cuál es la edad de esos cuerpos.
    • Para responder a la pregunta es suficiente realizar la siguiente multiplicación:

Potencias de base 10 para primaria para niños

    • Veamos:
Explicación Procedimiento
4 x (5 x 109) El cuádruple de la edad del Sol
(4 x 5) x 109 Agrupamos los coeficientes 4 y 5
20 x 109 Multiplicamos 4 por 5
(2 x 10) x 109 Escribimos 20 como 2 x 10
2 x (10 x 109) Agrupamos las potencias de base 10
2 x 1010 Multiplicamos potencias de igual base
    • Concluimos que la edad aproximada de los cuerpos es 2 x 1010

 

 

Operaciones con potencias de 10

Uno de los usos de las potencias de base 10 es realizar operaciones de forma sencilla, porque las potencias de base 10 nos sirven para escribir números muy grandes o números muy pequeños de forma simplificada, tal como vimos anteriormente.

En este apartado aprenderemos a sumar, restar, multiplicar y dividir con potencias de base 10.

 

 

Suma y resta de potencias de base 10

Para sumar potencias de base 10 tenemos que fijarnos en la potencia de 10. Podemos tener dos casos:

  1. Ambos términos tienen la misma potencia de 10.

Potencias de base 10 de primaria para niños

  1. Los términos tienen distintas potencias de 10.

Las potencias de base 10 en primaria para niños

 

Caso 1: Ambos términos tienen la misma potencia de 10.

  1. Veamos el primer ejemplo de cómo sumar cuando ambos términos tienen la misma potencia de 10:

Potencias de base 10 de primaria para niños

    • En este caso, ambos términos tienen la potencia:

Potencias base 10

    • Lo que hacemos es sumar los coeficientes de cada término y colocamos la misma potencia:

Potencias base 10 para niños

 


  1. Mira este otro ejemplo del mismo caso, pero esta vez con la resta:

Potencias base 10 para niños de primaria

    • En este ejemplo los dos términos tienen la potencia:

Potencias base 10 para niños en primaria

    • Lo que hacemos es sumar los coeficientes de cada término y colocamos la misma potencia:

Potencias base 10 para primaria

 

 

Caso 2: Los términos tienen distintas potencias de 10.

  1. Observa este primer ejemplo con adición:

Potencias base 10 en primaria

    • Los términos tienen distintas potencias de base 10. En este caso:

Potencias base 10 de primaria

    • Como ves, los exponentes de las potencias son 6 y 5.
    • Lo primero que haremos es escribir los términos de forma que tengan el mismo exponente.
    • Tomamos el término que tenga la potencia de 10 con menor exponente, que en este es:

Las potencias de base 10

    • Y lo llevaremos al exponente 6. Para ello, vemos cuál es la diferencia entre 5 y 6 en la recta.

Las potencias de base 10 para niños

    • La diferencia es 1 unidad hacia la derecha.
    • Nos tenemos que mover 1 lugar a la derecha para pasar de 5 a 6. Entonces, vamos a mover la coma 1 lugar hacia la izquierda.
    • Y, además, sumamos 1 al exponente de la potencia base 10. Nos queda así:

Las potencias de base 10 para primaria

Fíjate que ambas expresiones son equivalentes al desarrollarlas:
2,1 x 105 = 210.000
0,21 x 106 = 210.000
    •  Ahora sí podemos reescribir el término para realizar la adición:

Las potencias de base 10 de primaria

    • Sumamos los coeficientes y dejamos la misma potencia de base 10.

Las potencias de base 10 para primaria para niños

 


  1. Veamos otro ejemplo con la sustracción:

Las potencias de base 10 en primaria para niños

    • Los exponentes son 4 y 2.
    • Tomamos el término con el exponente menor de las potencias base 10 (el 2) y buscamos la diferencia entre ese exponente y el mayor (el 4).

Las potencias de base 10 de primaria para niños

    • Para pasar de 2 a 4 nos movemos 2 unidades a la derecha, entonces movemos la coma 2 lugares a la izquierda. Nos queda así:

Las Potencias Base 10

Fíjate que ambas expresiones son iguales:
3,4 x 102 = 340
0,034 x 104 = 340
    • Ahora reescribimos el término y sí podemos restar:

Las potencias base 10 para niños

    • Restamos los coeficientes y dejamos la misma potencia base 10.

Las potencias base 10 para niños de primaria

 

 

Multiplicación de potencias de base 10

La multiplicación de potencias de base 10 es otra de las operaciones que se usan bastante, especialmente en las ciencias naturales porque trabajan con números muy pequeños o muy grandes.

Multiplicar potencias base 10 es mucho más fácil que sumarlas o restarlas porque no tenemos que preocuparnos por los exponentes de la potencia.

Ahora bien, para multiplicar potencias de base 10 es necesario recordar una propiedad de la potenciación, ya que multiplicamos potencias de bases iguales.

Para multiplicar potencias de igual base se conserva la bases y se suman los exponentes:
an x am = an + m
Ejemplo: 105 x 103 = 105+3 = 108

Para resolver una multiplicación con potencias de base 10 debemos:

  1. Multiplicar los coeficientes de los factores.
  2. Multiplicar las potencias de base 10 aplicando la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base.

Veamos un par de ejemplos:

  • Ejemplo 1
(2 x 103) x (3 x 1011)
Procedimiento Explicación
(2 x 103) x (3 x 1011) = (2 x 3) x (103 x 1011) Agrupamos los coeficientes y las potencias de base 10
(2 x 103) x (3 x 1011) = (6) x (103 x 1011) Multiplicamos los coeficientes
(2 x 103) x (3 x 1011) = 6 x (103 + 11) Multiplicamos las potencias de base 10 sumando los exponentes
(2 x 103) x (3 x 1011) = 2 x 1014 Resultado

 

  • Ejemplo 2
(3 x 106) x (1,5 x 1015)
Procedimiento Explicación
(3 x 106) x (1,5 x 1015) = (3 x 1,5) x (106 x 1015) Agrupamos los coeficientes y las potencias de base 10
(3 x 106) x (1,5 x 1015) = (4,5) x (106 x 1015) Multiplicamos los coeficientes
(3 x 106) x (1,5 x 1015) = 4,5 x (106 + 15) Multiplicamos las potencias de base 10 sumando los exponentes
(3 x 106) x (1,5 x 1015) = 4,5 x 1021 Resultado

 

 

División de potencias de base 10

Al igual que para la multiplicación, para dividir potencias de base 10 debemos recordar una propiedad de la división de potencias de bases iguales.

Para dividir potencias de igual base se conserva la base y se restan los exponentes:
an ÷ am = an – m
Ejemplo: 108 ÷ 102 = 108-2 = 106

Para dividir potencias de base 10 hacemos lo siguiente:

  1. Dividir los coeficientes de los factores.
  2. Dividir las potencias de base 10 aplicando la propiedad de la división de potencias de igual base.

A continuación te presentamos algunos ejemplos que hemos resuelto paso a paso:

 

  • Ejemplo 1:
(9 x 1012) ÷ (3 x 105)
Procedimiento Explicación
(9 x 1012) ÷ (3 x 105) = (9 ÷ 3) x (1012 ÷ 105) Agrupamos los coeficientes y las potencias de base 10
(9 x 1012) ÷ (3 x 105) = (3) x (1012 ÷ 105) Dividimos los coeficientes
(9 x 1012) ÷ (3 x 105) = 3 x (1012-5) Dividimos las potencias de base 10 restando los exponentes
(9 x 1012) ÷ (3 x 105) = 3 x 107 Resultado

 

 

  • Ejemplo 2
(3 x 108) ÷ (1,5 x 102)
Procedimiento Explicación
(3 x 108) ÷ (1,5 x 102) = (3 ÷ 1,5) x (108 ÷ 102) Agrupamos los coeficientes y las potencias de base 10
(3 x 108) ÷ (1,5 x 102) = (2) x (108 ÷ 102) Dividimos los coeficientes
(3 x 108) ÷ (1,5 x 102) = 2 x (108-2) Dividimos las potencias de base 10 restando los exponentes
(3 x 108) ÷ (1,5 x 102) = 2 x 106 Resultado

 

 

  • Ejemplo 3
Suma de potencias de base 10
Procedimiento Explicación
Resta de potencias de base 10 Agrupamos los coeficientes y las potencias de base 10
Multiplicación de potencias de base 10 Dividimos los coeficientes
División de potencias de base 10 Dividimos las potencias de base 10 restando los exponentes
Operaciones con potencias de base 10 Resultado

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