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Los números primos

Dentro de las matemáticas existe un conjunto de números muy especiales, que tienen ciertas propiedades que han intrigado durante siglos a los matemáticos. Hablamos de los números primos.
Los números primos son aquellos números, mayores que 1, que solo admiten como divisores a ellos mismos y al número 1.
Tomemos el caso del número 5. Este número es divisible por 1 y por 5.

Numeros Primos

De aquí se deduce que:

  • 1 divide a 5 pues el resto de su división es cero (es división exacta).
  • 5 es múltiplo de 1 porque 5 = 5 x 1.
  • 5 divide a 5 pues el resto de la división es cero (es exacta la división)
  • 5 es múltiplo de 5 ya que 5 = 1 x 5.
Igual que sucede con el número 5, todo número es divisible por sí mismo y por el número 1. Del mismo modo, todo número es múltiplo de sí mismo y del número 1.

Pero busquemos más divisores de 5 entre los otros números naturales menores que él.
Esto quiere decir que vamos a verificar si el 2, el 3 o el 4 dividen al número 5:

 

Los Numeros Primos

Podemos notar que:

  • 2 no divide a 5 porque la división no es exacta y el resto es 1.
  • 5 no es múltiplo de 2, ya que no hay ningún número natural que al multiplicarlo por 2 de como producto exactamente 5.
  • 3 no divide a 5 pues tiene como resto 2, su división no es exacta.
  • 5 no es múltiplo de 3, pues ningún número natural multiplicado por 3 da 5.
  • 4 no divide a 5 porque la división no es exacta, y su resto es 1.
  • 5 no es múltiplo de 4, ya que no existe un número natural que multiplicado por 4 de 5 como resultado.

Sabemos entonces que el 5 tiene solo dos divisores que son 1 y 5.

Por eso, 5 es un número primo, ya que solo admite como divisores al 1 y a él mismo.

 

Diferencia entre números primos y números compuestos

 

Como ves, los números primos solo tienen dos divisores, mientras que la gran mayoría de los números pueden tener muchos más divisores.

A los números que tienen más divisores que a ellos mismos y al 1 los llamamos números compuestos.

Esto también quiere decir que los números compuestos se obtienen como producto de varios factores que pueden ser distintos a él mismo o al 1.

Tomemos como ejemplo el número 6.

Como hemos visto, el 6 es divisible por sí mismo y por el 1:

Que Son Numeros Primos

Como ya lo habíamos mencionado, todo número es divisible por 1 y por él mismo, y el número 6 no es la excepción.

Veamos ahora si el número 6 admite otros divisores además de 1 y 6.

Para ello, verificaremos si algún otro número natural menor que 6 lo divide, tal como hicimos anteriormente con el número 5:

Numeros Primos Para Ninos

Como observamos, hay dos divisiones exactas que son 6 entre 2 y 6 entre 3.

De esto concluimos que:

  • 2 divide a 6 y, lo que es igual, 6 es múltiplo de 2.
  • 3 divide a 6, es decir, 6 es múltiplo de 3.

Por último, podemos decir que los divisores de 6 son el 1, el 2, el 3 y el propio 6.

De manera que 6 es un número compuesto.

Ya hemos visto la primera diferencia entre primos y compuestos:

Los números primos admiten solo dos divisores mientras que los números compuestos tienen 3 o más divisores.

Ahora veamos otra diferencia entre números primos y compuestos.

Como sabemos, todo número puede escribirse como una cuadrícula de filas y columnas.

Así, por ejemplo, el número 6 que hemos estado trabajando anteriormente, puede representarse de la siguiente manera:

NÚMERO 6

Que Son Numeros Primos1 fila x 6 columnas

Esta cuadrícula es de 1 x 6

Numeros Primos Hasta Mil2 filas x 3 columnas

Esta cuadrícula es de 2 x 3

Numeros Primos Mil3 filas x 2 columnas

Esta cuadrícula es de 3 x 2

Numeros Primos Hasta Cien6 filas x 6 columnas

Esta cuadrícula es de 6 x 1

 

El 6 tiene 4 formas de representarse de manera rectangular porque es múltiplo de 4 números que son el 1, el 2, el 3 y el 6.

Veamos ahora qué pasa cuando representamos un número primo en cuadrículas rectangulares.

Para ello tomemos como ejemplo el número 5, que hemos estado trabajando y veamos de cuántas formas podemos representarlo:

 

NÚMERO 5

Numeros Primos Primaria1 fila x 5 columnas

Esta cuadrícula es de 1 x 5

Numeros Primos Para Primaria5 filas x 1 columna

Esta cuadrícula es de 5 x 1

Como puedes observar, el número 5 solo tiene 2 formas de representarse de manera rectangular porque solo es múltiplo del 1 y del 5.

Esta es otra diferencia entre primos y compuestos:

 

Los números primos solo tienen 2 formas de representarse como cuadrículas rectangulares mientras que los números compuestos tienen 3 formas o más.

 

Ejemplos de números primos

Observa esta tabla con los números primos menores que 25:

 

235
71113
171923

 

El número 1 no se considera ni primo ni compuesto.

Estos números al ser primos, como ya hemos mostrado anteriormente, solo son divisibles por ellos y por el número 1.

Para determinar si un número es primo o compuesto no es necesario dividirlo entre cada uno de sus posibles divisores y comprobar que el resto sea cero, como lo hicimos anteriormente.

Recuerda que existen los criterios de divisibilidad que te permiten saber si un número es divisible por otro, y esos criterios ayudan a determinar si un número es primo o compuesto.

Aquí presentamos un cuadro resumen de los criterios de divisibilidad del 2, 3 y 5.

Es divisible por:

Si…

2El número es par, es decir, termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
3La suma de los dígitos del número es múltiplo de 3.
5El número termina en 5 o en 0.

Tomemos como ejemplo el número 10 para aplicar estos criterios y ver por qué no está en la tabla de números primos menores que 25.

  • 10 es divisible por 1 y por 10, pues todo número tiene como divisores a sí mismo y al 1.
  • 10 es divisible por 2, porque 10 es número par.
  • 10 es divisible por 5, porque termina en 0.

Por tanto, 10 es compuesto y por eso no está en nuestra tabla de números primos menores que 25.

Ahora veamos el caso del número 7 que sí aparece en la tabla:

  • 7 es divisible por 1 y por 7, porque todo número es divisible por 1 y por sí mismo.
  • 7 no es divisible por 2, pues no es par.
  • 7 no es divisible por 3, porque no cumple con el criterio de divisibilidad por 3.
  • 7 no es divisible por 5, pues no termina ni en cero ni en 5.
  • 7 no es divisible por 6 pues su división no es exacta.

De manera que el número 7 solo admite al mismo 7 y al 1 como divisores, por eso es primo y está en la tabla de los números primos menores que 25.

Criba de Eratóstenes

Un matemático y astrónomo griego, llamado Eratóstenes creó una forma de obtener los números primos. La súper conocida criba de Eratóstenes ha llegado hasta nuestros días.

Para los primeros cien números naturales, el método puede resumirse de la siguiente manera:

  1. Se coloca en una cuadrícula los primeros cien números naturales.
  2. Tachamos el número 1, por no ser ni primo ni compuesto. ¿Recuerdan por qué?
  3. Se continúa con el número 2, lo resaltamos y seguidamente se tachan todos los otros números múltiplos de 2, por tanto, tachamos el 4, 6, 8, 10, 12, y así sucesivamente hasta llegar al 100, que también es múltiplo de 2.

Criba Dos Eratostenes

  1. Se sigue con el siguiente número no tachado en el cuadro, el 3, se procede a resaltarlo con el color azul como primo y se luego se tachan todos los múltiplos de 3 que están sin marcas (es decir, 9, 15,  21, 21, hasta llegar al 99 que también es múltiplo de 3). Es interesante observar que el 6, el 12 y el 18, que son múltiplos de 3, ya están tachados. Y esto se debe a que estos números son múltiplos de 2 y 3 al mismo tiempo. En consecuencia también son múltiplos 6.

Criba Tres Eratostenes

  1. El siguiente número que no está tachado en el cuadro es el 5. Lo resaltamos con verde como primo y tachamos todos los múltiplos de 5 que no estén tachados aún.

Criba Cinco Eratostenes

 

  1. Ahora corresponde tachar al número 7. Lo resaltamos con morado como primo y tachamos todos los múltiplos de 7 que falten.

Criba Siete Eratostenes

  1. El proceso realizado se repite hasta que todos los múltiplos de los números primos sean tachados. La criba de Eratóstenes para obtener los primos entre los cien primeros números naturales quedaría como el cuadro que se muestra a continuación. Los números primos están resaltados en rojo, mientras que el uno y los números compuestos han sido tachados.

Como Son Numeros Primos

Como se observa en el cuadro en los 100 primeros números naturales hay 25 números primos. Esta es la lista de estos números, ordenada de menor a mayor: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

¿Quieres hacer tú propia criba de Eratóstenes y demostrar que ya eres un experto en números primos? Te animamos entonces a que descargues y realices las siguientes fichas:

 

A continuación presentamos una tabla con los números primos entre 1 y 1000:

 

Números primos hasta el 1000

23571113171923293137
414347535961677173798389
97101103107109113127131137139149151
157163167173179181191193197199211223
227229233239241251257263269271277281
283293307311313317331337347349353359
367373379383389397401409419421431433
439443449457461463467479487491499503
509521523541547557563569571577587593
599601607613617619631641643647653659
661673677683691701709719727733739743
751757761769773787797809811821823827
829839853857859863877881883887907911
919929937941947953967971977983997

Realiza estos juegos para poner en práctica todo lo que has aprendido hasta aquí:


 

Descomposición de un Número primo en Factores primos

Al estudiar la multiplicación de números naturales se discutió que el número 18 se puede expresar de diversas maneras, como el producto de dos números. Veamos:

 

Formas de expresar el número 18

 Numeros Primos Hasta El Cien1 x 18
 Numeros Primos Hasta El Mil2 x 9
 Cien Primeros Numeros Primos3 x 6

Empleando la propiedad conmutativa de la multiplicación, se tiene que 18 también se puede escribir como 1 x 18, 9x 2 y 6 x 3.

Al observar lo números que multiplicados dan 18 como resultado, se obtiene que alguno de los factores es un número compuesto. ¿Será posible escribir 18 como el producto de factores donde todos sean números primos?

La respuesta es sí.

Veamos:

18 =2 x 9 = 2 x 3 x 3

18 = 3 x 6 = 3 x 2 x 3

Se observa que en cualquiera de los casos que se considere para el 18, éste siempre quedará expresado, de una misma manera, como producto de factores primos.

Es decir, el 18 es el producto de la multiplicación de números primos. Los factores primos de 18 son 2 y 3.

Al aplicar este procedimiento por ejemplo con el 12 tenemos:

12 = 4 x 3 = 2 x 2 x 3

12 = 6 x 2 = 3 x 2 x 2

Es decir, que 12 expresado como la descomposición de factores primos es 2 x 2 x 3.

En el caso del 24 el resultado sería:

24 = 6 x 4

24 = 2 x 2 x 2 x 3

24 = 3 x 2 x 2 x 2

24 =2 x 2 x 2 x 3

 

Entonces, 24 expresado como la descomposición de su factores primos es 2 x 2 x 2 x 3 = 24

Veamos que ocurre con el número 100. Este número se puede expresar como:

100 = 2 x 50

1004 x 25

100 = 2 x 2 x 25

100 = 2 x 2 x 25

100 = 2 x 2 x 5 x 5

100 = 2 x 2 x 5 x 5

Observa que el número 100 siempre quedará expresado como producto de los factores primos 2 y 5.

El número 100 escrito como la descomposición de sus factores primos es  igual a 2 x 2 x 5 x 5.

 

Todo número compuesto tiene una descomposición en factores primos que siempre existe y es única. ¡Este es el teorema fundamental de la aritmética!

 

Otra manera de hacer la descomposición de números compuestos en factores primos es utilizando la idea de divisores. Para saber cómo se hace visualiza los dos vídeos que tienes a continuación donde se explica paso a paso y con ejemplos.

¿A qué es fácil descomponer un número en sus factores primos? Demuéstralo realizando las fichas que tienes a continuación. Puedes descargarlas e imprimirlas.

Diviértete también con estos dos juegos de descomposición de un número en sus factores primos.

 

Curiosidades de los números primos

Para finalizar el artículo vamos a comentar algunas curiosidades de los números primos. Algunas pertenecen al mundo de las matemáticas pero otras pueden observarse en el mundo real.

El 2 es el único número primo y par a la vez.

Numeros Primos Que Son

Esto se debe a que todo número par mayor que dos tiene como divisores (al menos) a sí mismo, al número 1 y al 2. Por tanto, todo número par mayor que dos es compuesto.

Los números primos más cercanos son el número 2 y el número 3.

Numeros Primos Infantil

Estos números primos tienen una distancia de solo una unidad. Pero los números primos se hacen cada vez más escasos mientras los números van creciendo y hay mucha más distancia entre ellos.

 

Algunos insectos viven exactamente 13 o 17 años como larvas.

Numeros Primos Para Ninos Primaria

Este es el caso de las chicharras o cicádidos que viven 13 o 17 años exactamente (los dos números primos) como especie de larvas o parásitos debajo dela tierra, alimentándose de raíces, antes de salir a la superficie tal como las conocemos.

Esto hace que vayan emergiendo por oleadas en vez de que salgan en enjambres completos, y así se preservan de sus depredadores naturales.

 

Los números primos se usan para «encriptar» o proteger información.

Factores Primos

Esto se debe a que al tener un número muy grande, la descomposición de este número en factores primos es muy difícil.

De manera que si se usa un número grande como “candado” para proteger la información, y las “llaves” son los números primos que al multiplicarlos dan como resultado ese número grande, encontrar estos factores primos es muy complicado.