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Números pares e impares

En este artículo conocerás todo lo que debes saber sobre los números pares e impares.

Descubrirás qué son, cómo se representan geométricamente, cuál es su forma general, y además algunas curiosidades que incluyen su uso en el arte de la fotografía.

¡Tienes que leerlo hasta el final!

 

 

Definición de número par.

 

Para comprender la idea de número par recordaremos por un momento la tabla de multiplicar del 2.

Vamos a multiplicar por 2 hasta el 12:

x123456789101112
224681012141618202224

Los resultados fueron 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24. Fíjate que la cifra de las unidades de estos resultados siempre es cero o un número par.

Si seguimos multiplicando por 2, es decir, 2 x 13 = 26, 2 x 14 = 28, 2 x 15 = 30 y así sucesivamente, continúa ocurriendo que la cifra de las unidades es cero o un número par. Esto siempre va a ser así.

Entonces podemos concluir que un número es par si la cifra de las unidades es cero o un número par.

Los números pares son siempre múltiplos de dos. Es decir, se obtienen de multiplicar dos por un número natural.  Esto es:

x131415161718192021222324m
2246810121416182022242m

Los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 48 son todos pares.

Un número par se obtiene al multiplicar dos por cualquier número natural. Es por ello que podemos concluir que:

Los números pares son los que terminan en 0, 2, 4, 6, 8.

Definición de número impar.

 Los números impares son los que nos son pares, es decir, aquellos cuya cifra de las unidades no es cero ni un número par.

Veamos cómo se comportan los números impares en la recta numérica:

Pares

En la recta numérica hemos representado los números del 14 al 28.

Fijemos la atención en el número 20 que es par.

Observa que si saltamos un paso hacia atrás desde el 20, es decir restamos uno, llegamos hasta el número 19 que es impar, porque no termina en cero ni en número par.

De igual manera ocurre con el número 28 al restar uno llegamos al 27 que es un número impar.

Siempre ocurre que al restar la unidad a un número par se obtiene un número impar.  De forma numérica esto sería:

14-1=1316-1=1518-1=1720-1=1922-1=21
24-1=2326-1=2528-1=2730-1=2931-1=31

Entonces, los números impares siempre anteceden a un número par. Concluimos entonces en que:

Los números impares son los que terminan en 1, 3, 5, 7, 9.

Representación geométrica de los números pares e impares.

Cuando los números son pares siempre es posible agruparlos de dos en dos. Si hacemos una tabla rectangular, entonces el número de filas es 2.

Supongamos que tenemos 8, 10 y 12 fichas de cartón respectivamente. Nuestro trabajo consiste en agruparlas de dos en dos. Veamos lo que resulta:

ImparesEn este caso hemos formado una cuadrícula rectangular de 2 filas y 4 columnas.
Números ParesCon las 10 fichas hemos elaborado una cuadrícula rectangular de 2 filas y 5 columnas.
Números ImparesEn este caso hemos formado una cuadrícula rectangular de 2 filas y 6 columnas. Lo que confirma que 12 es un número par.

 

Vimos que en los tres casos fue posible hacer una cuadrícula rectangular donde el número de filas era 2, es decir, agruparlas de dos en dos. Lo que comprueba que 8, 10 y 12 son números pares. Te invitamos a seleccionar otros números pares para  hacer tablas rectangulares donde el número de filas sea 2.

Ahora veamos que sucede si los números son impares. Tomemos como ejemplo los números 9, 15 y 21.  Intentaremos agruparlos de dos en dos. Veamos:

Pares Impares

Observa que en ninguno de los tres casos es posible agruparlos de dos en dos, siempre sobra uno.

Hacer tablas rectangulares con números impares donde el número de filas sea dos es imposible.

 

Forma general de los números pares

Como ya hemos visto, los números pares terminan en 0, 2, 4, 6, 8. Pero también tienen como particularidad que pueden obtenerse al multiplicar cualquier número por 2. Mira bien:

  • El número par es el 2 y podemos escribirlo así:
    • 2 = 2 x 1
  • El número par es el 4 y podemos escribirlo de esta manera:
    • 4 = 2 x 2
  • Seguimos con el número par, que es el 6:
    • 6 = 2 x 3
  • Podemos seguir así con varios, pero para verlo mejor haremos una tabla con los 10 primeros números pares:
PosiciónNúmeroEscrito como producto de 2
22=2x1
44=2x2
66=2x3
88=2x4
1010=2x5
1212=2x6
1414=2x7
1616=2x8
1818=2x9
10º2020=2x10

Fíjate que podemos seguir escribiendo de la misma manera los números pares que siguen y no pararíamos nunca

Hagamos un pequeño experimento a ver cómo es que esto funciona:

  1. Piensa en el 20º número par (el número par que ocupa la vigésima posición):
    • En este caso el número que encontrarás en tu mente es el 40.
  1. Trata de ver si puedes escribirlo como producto del 2:
    • Buscamos qué número multiplicado por 2 nos da como resultado 40.
    • Nos queda que 40 = 2 x 20
  1. Fíjate que el número 40 está en la 20º posición y se escribe 2 x 20
  2. Ahora vuelve a ver la tabla que construimos de los 10 primeros números pares y nota la relación que tiene la posición que ocupa el número par con la forma en que se escribe como producto de 2.

Esta es la tabla de los 20 primeros números pares:

PosiciónEscrito como producto de 2
2=2x1
4=2x2
6=2x3
8=2x4
10=2x5
12=2x6
14=2x7
16=2x8
18=2x9
10º20=2x10
11º22=2x11
12º24=2x12
13º26=2x13
14º28=2x14
15º30=2x15
16º32=2x16
17º34=2x17
18º36=2x18
19º38=2x19
20º40=2x20

Podemos deducir de aquí varias cosas:

  1. Todo número par es múltiplo de 2.
  2. Podemos escribir cualquier número par como 2 x n, siendo n un número determinado.

La forma general de cualquier número par x es:

x = 2 x n, para un n determinado

Forma general de los números impares

Veamos ahora algunas regularidades en los números impares.

Recuerda que cuando representamos de manera geométrica los números impares siempre “sobra uno” que no tiene pareja.

Por ejemplo, el número 9 se ve así:

Pares e Impares

Si queremos formar un rectángulo, como el de los números pares, tenemos esto:

Números Pares Impares

Esta representación tiene 2 filas completas y 4 columnas completas.

Números Pares E Impares

Y hay 1 de los cuadritos que sobra:

Números pares para niños

Veamos cómo escribiríamos esto:

Tenemos dos filas y cuatro columnas en el rectángulo2x4
Nos «sobra» un cuadrito+1
Nos queda2x4+1

Mira este otro ejemplo con el número 15

Números Impares Para Niños

Tiene 2 filas, 7 columnas y sobra 1.

Números Pares Impares Primaria

Podemos escribir entonces el número 15 así:

15 = 2 x 7 + 1

Mira la tabla de los 20 primeros números impares:

PosiciónNúmeroProducto de 2 por un número más 1
11=2x1+1
33=2x2+1
55=2x3+1
77=2x4+1
99=2x5+1
1111=2x6+1
1313=2x7+1
1515=2x8+1
1717=2x9+1
10º1919=2x10+1
11º2121=2x11+1
12º2323=2x12+1
13º2525=2x13+1
14º2727=2x14+1
15º2929=2x15+1
16º3131=2x16+1
17º3333=2x17+1
18º3535=2x18+1
19º3737=2x19+1
20º3939=2x20+1

De aquí podemos deducir que:

Cualquier número impar puede escribirse como 2 x n + 1, siendo n un número determinado. Esta es la forma general de los número impares.

 

Curiosidades de los números pares e impares.

En esta sección veremos algunas curiosidades con los números en los que se involucran los números pares e impares.

Números cuadrados

En Matemática existen unos números particulares que pueden asociarse con figuras geométricas.

Uno de esos conjuntos de números es el de los números cuadrados.

Observa cómo se ven estos números:

Números pares e impares para niños de primaria

Fíjate que el primer número cuadrado es el 1, luego viene el 4, después sigue el 9, el 16, va después el 25, luego vienen el 36 y el 49, y así siguen…

¿Te fijaste que va uno par y luego uno impar?

¡Pareciera que se van alternando!

Veamos una tabla con los primeros 15 números cuadrados. Observa cómo se van presentando en cuanto a pares e impares:

PosiciónNúmero cuadradoPar o impar
1Impar
4Par
9Impar
16Par
25Impar
36Par
49Impar
64Par
81Impar
10º100Par
11º121Impar
12º144Par
13º169Impar
14º196Par
15º225Impar

A partir de esto podemos predecir si el vigésimo quinto número cuadrado será par o impar. De acuerdo con esta tabla, y lo que hemos comprobado, podemos decir que el 25° número cuadrado es impar.

¿Será el trigésimo cuarto número cuadrado impar también?

¡La respuesta te la dejamos a ti!

 

La suma de los n primeros impares

Anteriormente vimos una tabla con los 20 primeros números impares. Ahora vamos a ver lo que pasa cuando vamos sumándolos en orden.

Por ejemplo, si sumamos los 3 primeros números pares tenemos:

1+3+5=9

Si sumamos los 4 primeros números pares sería:

1+3+5+7=16

Veamos la tabla que resume algunas sumas de números impares en orden:

Cantidad de números

impares sumados

Suma
Los 2 primeros1+3=4
Los 3 primeros1+3+5=9
Los 4 primeros1+3+5+7=16
Los 5 primeros1+3+5+7+9=25
Los 6 primeros1+3+5+7+9+11=36
Los 7 primeros1+3+5+7+9+11+13=46
Los 8 primeros1+3+5+7+9+11+13+15=64
Los 9 primeros1+3+5+7+9+11+13+15+17=81
Los 10 primeros1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

¡Fíjate que la cantidad de números sumados al cuadrado es igual al resultado de la suma!

Esto podemos expresarlo de manera general así:

Al sumar los n primeros números impares, el resultado de la suma es el cuadrado de n.

 

La suma de los n primeros pares

Ahora veamos si los números pares tienen una regularidad parecida a la de los impares cuando los sumamos en orden.
Vamos directo a la tabla que resume algunas sumas en orden:

Cantidad de números

pares sumados

Suma
Los 2 primeros2+4=6
Los 3 primeros2+4+6=12
Los 4 primeros2+4+6+8=20
Los 5 primeros2+4+6+8+10=30
Los 6 primeros2+4+6+8+10+12=42
Los 7 primeros2+4+6+8+10+12+14=56
Los 8 primeros2+4+6+8+10+12+14+16=72
Los 9 primeros2+4+6+8+10+12+14+16+18=90
Los 10 primeros2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110

En este caso la regla funciona así:

Al sumar los 2 primeros números pares el resultado es 6 (6=2 x 3)

Si sumamos los 3 primeros números pares el resultado es 12 (12=3 x 4)

Al sumar los 4 primeros números pares el resultado es 20 (20=4 x 5)

Si sumamos los 5 primeros números pares el resultado es 30 (30=5 x 6)

¡Y así continúa!

De aquí podemos deducir que al sumar los primeros n números pares el resultado de la suma es el producto de n por el número que le sigue.

 

La regla de los impares en la fotografía

La regla de los impares establece que las imágenes son mucho más atractivas visualmente cuando hay un número impar de objetos o sujetos.

Números Pares E Impares Para Niños

Algunos estudios incluso muestran que las personas se sienten más cómodas al observar imágenes que tienen un número impar de objetos.

Según los expertos, nuestro cerebro tiende a emparejar los objetos que vemos en una imagen cualquiera, y al haber un número impar de elementos el cerebro no puede emparejarlos todos y la imagen es más atractiva para nosotros. ¡Interesante uso de los números impares en el arte!

Los Números Pares E Impares Para Niños

Juegos y fichas de número pares e impares

Es hora de practicar todo lo aprendido. Te animamos a que realices los siguientes juegos y fichas sobre los números pares e impares para practicar todo lo aprendido.