Ley de Laplace

En las probabilidades existe una gran cantidad de fórmulas y leyes que permiten medir la probabilidad de que se produzca un resultado u otro al realizar un experimento. Entre estas leyes se encuentra una muy utilizada, conocida como Ley de Laplace.

En este artículo conocerás la definición de la Ley de Laplace, cuál es la fórmula de la Ley de Laplace, así como algunos ejemplos y aplicaciones.

Definición de la Ley de Laplace

La Ley de Laplace es una regla que permite calcular la probabilidad de que ocurra un resultado de un experimento, siempre que todos los posibles resultados tengan la misma probabilidad de ocurrir.

Podemos decir, en otras palabras que:

Esta Ley debe su nombre a Pierre Simon Laplace, quien la formuló en el siglo XVIII, y es una parte muy importante de la teoría de la probabilidad.

Pierre Simon Laplace fue un astrónomo, físico y matemático francés de gran notoriedad en la vida política y científica de la época. Sus contribuciones a estos campos son muchas, entre ellas se encuentra el “Tratado de Mecánica Celeste”, considerada por muchos como su obra más importante.

Tal vez te preguntes dónde se aplica la Ley de Laplace. Para ello vamos a revisar este ejemplo:

• Tenemos una bolsa de color oscuro que contiene 6 papeles cuadrados del mismo tamaño pero de diferente color: amarillo, verde, naranja, azul, rojo , violeta.

• Como no podemos ver dentro de la bolsa, si hacemos el experimento de sacar uno de los papeles para ver su color, los resultados posibles son:

1. 1. Amarillo
   2. Verde
   3. Naranja
   4. Azul
   5. Rojo
   6. Violeta

• Todos estos resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir, es decir, los resultados son equiprobables.
• Aquí podemos calcular la probabilidad de ocurrencia de cualquiera de estos seis resultados aplicando la ley de Laplace.

También podemos, por ejemplo, aplicar la ley de Laplace para calcular la probabilidad de sacar un papel con un color primario (amarillo, azul o rojo). O usar la Ley de Laplace para conocer la probabilidad de sacar un papel de un color secundario (verde, naranja, violeta).

En la próxima parte del artículo te explicamos en qué consiste la fórmula de la Ley de Laplace para realizar cálculos de probabilidad.

Fórmula de la Ley de Laplace

Como ya dijimos, la Ley de Laplace se aplica para calcular la probabilidad de que un suceso ocurra en experimentos con resultados equiprobables.

Esta es la fórmula de la Ley de Laplace para calcular la probabilidad de que un suceso A ocurra en un experimento de ese tipo:

Pero, ¿qué son casos favorables y qué son casos posibles?

Veamos cómo funciona la fórmula de la Ley de Laplace:

• Imagina que estamos sacando, sin ver, un papel de la bolsa negra que describimos en el apartado anterior.

• ¿Cuál sería la probabilidad de obtener un papel de color rojo?
• Si usamos la fórmula de Laplace para calcular debemos saber cuál es el número de casos posibles y cuál es el número de casos favorables. Observa:
  • Hay 6 casos posibles, porque hay 6 papeles cada uno con con colores diferentes que son amarillo, rojo, naranja, violeta, azul y verde.
  • Al conjunto de casos posibles vamos a llamarlo U. Y en este ejemplo tenemos:

U = {amarillo, rojo, naranja, violeta, azul, verde}

• • Hay 1 caso favorable, porque hay 1 solo papel de color rojo.
  • Ahora podemos aplicar la fórmula de la Ley de Laplace:

P(rojo) = ¹₆≈ 0,17

• Decimos entonces que la probabilidad de sacar un papel de color rojo es 0,17, aproximadamente.

Ahora calculemos la probabilidad de sacar un papel con un color primario.

• Recuerda que los colores primarios son amarillo, azul y rojo. Tenemos entonces lo siguiente:
  • Hay 6 casos posibles.

U = {amarillo, rojo, naranja, violeta, azul, verde}

• • Hay 3 casos probables: amarillo, rojo y azul. Aplicamos la fórmula de la Ley de Laplace y nos queda así:

P(color primario) = ³₆=¹₂= 0,5

• Concluimos que la probabilidad de sacar un papel de color primario es 0,5.

Ejemplos de la Ley de Laplace

Ahora veamos algunos ejemplos de la Ley de Laplace que te ayudarán a terminar de entender de qué trata esta importante idea matemática.

1. Pensemos que lanzamos una moneda al aire. Ahora calculemos la probabilidad de que salga cara.

• En este suceso (el de lanzar una moneda) los casos posibles son cara y cruz. Y ambos son equiprobables, es decir, la probabilidad de que salga cara o cruz es la misma.
• Como ya hemos mencionado en este suceso existen dos casos posibles: Cara y Cruz.

U = {Cara, Cruz}

• El número de casos en los que sale Cara, es decir, el número de casos favorables es 1.

P(Cara) = ^{Número de casos en los que sale Cara}_{Número de casos posibles}=¹₂= 0,5

• La probabilidad de sacar Cara al lanzar una moneda es igual a 0,5.

2. Estefanía participa en un sorteo de 150 boletos numerados del 1 al 150, para optar por una motocicleta. Ella quiere saber cuáles son todos los casos posibles en este suceso. Y cuál es la probabilidad que tiene de ganar el sorteo si compra 10 boletos.

•  Los casos posibles son cada uno de los boletos numerados desde el 1 hasta el 150.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…………., 149, 150}

• El número de casos en los que Estefanía puede ganar el sorteo son 10. Estos son los casos favorables.

P(Estefanía gana sorteo) =^{Número de casos en los que Estefanía gana el sorteo}_{Número de casos posibles}=¹⁰₁₅₀ =¹₁₅=0,07.

• La probabilidad de que Estefanía gané el sorteo si compra 10 boletos es 0,07.

Aplicaciones de la Ley de Laplace

La Ley de Laplace tiene aplicaciones en áreas como ingeniería, educación, economía, investigación, medicina, astronomía, entre otras. Además, esta ley fue uno de los primeros pasos de lo que hoy se conoce como teoría de probabilidades.

A continuación, te presentamos dos aplicaciones de esta importantísima ley.

1. El temario de un examen para un proceso selectivo contiene 40 temas, de los cuales se elegirá uno por sorteo. Si una persona no ha estudiado los 10 últimos temas ¿cuál es la probabilidad de que salga un tema que haya estudiado?

• Los casos posibles son los 40 temas del temario para el examen, numerados del 1 al 40.

• El número de temas que ha estudiado la persona son 30, estos son los casos favorables.

P(Tema que haya sido estudiado) =^{Número de temas que ha estudiado la persona}_{Número de casos posibles}=³⁰₄₀=³₄=0,75

• La probabilidad de que a la persona le salga un tema que haya estudiado es de 0,75.

2. Se tienen 600 partes fabricadas, de las cuáles se sabe que 50 no reúnen los requerimientos del cliente. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una pieza al azar ésta reúna los requerimientos del cliente?

Respondamos la interrogante del problema de la siguiente manera:

• Los casos posibles son las 600 partes fabricadas.
• El número de casos favorables son las 550 partes que reúnen los requerimientos del cliente.
• Sabemos esto, porque de las 600 partes fabricadas 50 no reúnen los requerimientos del cliente. Entonces, restamos a 600 las 50 partes que no reúnen las condiciones del cliente y nos quedan 550 en perfectas condiciones.

P(Pieza con los requerimientos del cliente) =^{Número de partes que reúnen los requerimientos}_{Número de casos posibles}=

⁵⁵⁰₆₀₀=⁵⁵₆₀=0,75

• La probabilidad de que al sacar una pieza al azar ésta reúna los requerimientos del cliente es de 0,92.

Antes de concluir, te dejamos unos cuantos recursos más para que practiques lo aprendido. 

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Origen y definición de la Ley de Laplace

Términos relacionados con la Ley de Laplace

Aplicación de la Ley de Laplace - 1

Aplicación de la Ley de Laplace - 2