Mundo Primaria
  • Tienda
  • Cursos

Círculo y circunferencia

En ocasiones tendemos a pensar que un círculo y una circunferencia es lo mismo pero no es así. Te animamos a que sigas leyendo y descubras en qué se diferencian uno de la otra y, además aprendas muchas más cosas como calcular su longitud o su área en el caso de los círculos.

La Circunferencia

 

La circunferencia es un objeto geométrico muy importante, son muchas las aplicaciones que se le han dado a esta curva cerrada que posee una propiedad especial.  Veamos de qué se trata.

Definición de circunferencia:

Una circunferencia es una curva cerrada en la que todos sus puntos están a igual distancia de otro punto, llamado centro de la circunferencia.

Círculo y circunferencia para niños

 

Definición de círculo:

Un círculo es el conjunto de todos los puntos interiores de una circunferencia y los puntos de la circunferencia.

Longitud de un círculo y una circunferencia

 

Diferencias entre circunferencia y círculo

La circunferencia y el círculo se diferencian en varios aspectos, y es importante tener estas diferencias en cuenta porque pueden ser muy útiles a la hora de resolver problemas  o  matematizar situaciones de la vida cotidiana. Observa que:

La circunferencia es el borde del círculo. Mientras que el círculo es la circunferencia y todos sus puntos interiores.

 

CIRCUNFERENCIACÍRCULO
  • Es una curva cerrada.
  • Su definición no incluye los puntos interiores a ella.
  • Al no incluir los puntos interiores no se puede hablar del área de la circunferencia, sino de longitud de la circunferencia.
  • Es una figura plana.
  • Incluye a la circunferencia y a todos los puntos interiores de la circunferencia.
  • Al ser una figura plana sí se puede calcular su área.

 

 

Algunas aplicaciones del círculo y la circunferencia

Las ideas de circunferencia y círculo han sido utilizadas en una gran cantidad de obras artísticas, tecnológicas y científicas. A continuación te presentamos dos ejemplos en los que se han utilizado estas  potentes ideas geométricas.

  • El Hombre de Vitruvio es una famosa obra de Leonardo da Vinci elaborada alrededor del año 1490. En la imagen se observa una figura masculina en dos posiciones de brazos y piernas e inscrita en una circunferencia y un cuadrado. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano.
  • Algunas de las proporciones descritas en el Hombre de Vitruvio son:
    • El rostro desde la barbilla hasta la parte más alta de la frente, donde comienzan las raíces del cabello, mide una décima parte de la altura total.
    • El pie equivale a una sexta parte de la altura del cuerpo.
    • La frente mide la tercera parte del rostro.
  • Te invitamos a que verifiques estos datos midiendo tu propio cuerpo. Esperamos haber despertado tu curiosidad y que ahora vayas detrás de la pista otras proporciones delas que habla el Hombre de Vitruvio.

Circunferencia y círculo

  • La Rueda es uno  de los inventos más importante de la historia de la humanidad  y en ella está presenta la idea de círculo y circunferencia. Ha sido de gran utilidad en la elaboración de alfarería y también en el transporte terrestre. La mayoría de los estudios arqueológicos coinciden en que la rueda fue inventada hacia los años 4500 a.C en Mesopotamia.

Círculo y circunferencia para niños de primaria

  • La idea de la circunferencia y el círculo también ha sido utilizada en la arquitectura y la ecología. En la imagen observamos  unos inmensos jardines circulares con una única vía para acceder a su interior. Estos jardines están ubicados en Copenhague, la capital de Dinamarca. Son urbanizaciones en las que los vecinos pueden encontrarse en el centro del jardín, porque suelen aparcar ahí sus automóviles.

Círculo y circunferencia para niños Primaria

 

El número Pi (π), la circunferencia y el círculo

El número pi (π) es la relación que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Es una constante muy importante en matemática, además de ser un número irracional.

El valor numérico de pi (π) con seis cifras decimales es el siguiente:

Círculo y circunferencia para Primaria

 

Generalmente a la hora de resolver ejercicios y problemas que involucren el número pi (π) se utiliza el valor 3,14.

 

Deducción del valor del número pi (π)

Para deducir el valor de pi (π) trabajaremos con los siguientes objetos: un vaso, un CD y una lata.

Círculo y circunferencia en Primaria                                                                                                         

Mediremos en centímetros la longitud de la circunferencia que forma el borde de cada uno de los objetos.  Lo realizaremos colocando hilo en el borde del vaso, el CD, y la lata. Luego cortaremos y mediremos  la longitud de cada una de las circunferencias formadas por el borde de los objetos.

Longitud de un círculo

Longitud de una circunferencia

Escribimos en la siguiente tabla los datos obtenidos al medir la longitud de la circunferencia de los objetos. Es bueno recordar que estos datos son aproximados, la medición siempre tendrá un margen de error.

 

OBJETOLONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (Lc)LONGITUD DE DIÁMETRO (LD) LcLd
LATA32 cm.
CD39 cm.
VASO23,5 cm.

 

Ahora medimos la longitud del diámetro de cada uno de los objetos.

Diferencia entre círculo y circunferencia

 

A continuación completamos la columna de la longitud del diámetro con los datos obtenidos a partir de la medición realizada.

 

OBJETOLONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (Lc)LONGITUD DE DIÁMETRO (LD) LcLd
LATA32 cm.10,1 cm
CD39 cm.12,3 cm.
VASO23,5 cm.7,4 cm.

 

Por último, dividimos la longitud de la circunferencia entre la longitud del diámetro y completamos  la tabla.

 

OBJETOLONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (Lc)LONGITUD DE DIÁMETRO (LD) LcLd
LATA32 cm.10,1 cm.3,168
CD39 cm.12,3 cm.3,17
VASO23,5 cm.7,4 cm.3,175

 

Al observar los cocientes obtenidos en la última columna nos damos cuenta que todos los valores obtenidos son muy cercanos a 3,14.  Si hubiésemos utilizado instrumentos de mayor precisión, como lo son el vernier y el curvímetro, el valor hubiese sido el mismo en todos los casos.  Es decir, el resultado obtenido sería una cantidad constante, mucho más próxima a la cantidad denominada pi (π).

 

Longitud de una circunferencia

Para deducir cómo se calcula la longitud de una circunferencia utilizaremos la tabla del ejemplo anterior.

 

OBJETOLONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (Lc)LONGITUD DE DIÁMETRO (LD) LcLd
LATA32 cm.10,1 cm.3,168
CD39 cm.12,3 cm.3,17
VASO23,5 cm.7,4 cm.3,175

 

A la última columna le cambiaremos el nombre, ahora la llamaremos π1. Esto lo hacemos debido a que como ya vimos los resultados obtenidos al dividir la longitud de la circunferencia entre la longitud del diámetro se aproximan bastante al valor de  pi (π).

 

OBJETOLONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (Lc)LONGITUD DE DIÁMETRO (LD)π1
LATA32 cm.10,1 cm.3,168
CD39 cm.12,3 cm.3,17
VASO23,5 cm.7,4 cm.3,175

 

Ahora veamos qué operación podemos aplicar con los valores de las dos últimas columnas para que obtengamos la longitud de la circunferencia.

  • Analicemos los valores obtenidos con la lata:
OBJETOLONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (Lc)LONGITUD DE DIÁMETRO (LD)π1
LATA32 cm.10,1 cm.3,168

 

    • Si sumamos 10,1 más 3,168 (Ld + π1) se obtiene 13,268,  este resultado no es igual al valor de la longitud de la circunferencia de la lata. Por esta razón, la adición no es la operación que nos permite combinar los resultados de las últimas dos columnas para obtenerla longitud de la circunferencia.
    • Al restar 10,1 con 3,168 (Ld – π1 ) la diferencia es 6,932, tampoco se obtiene el valor de la longitud de la circunferencia de la lata.
    • Cuando multiplicamos 10,1 por 3,168 (Ld x π1) el resultado es 31,9968 si redondeamos a la unidad más cercana el resultado es 32. En este caso sí obtenemos la longitud de la circunferencia de la lata.
    • Entonces, si multiplicamos la longitud del diámetro por el valor de pi (π) el resultado es igual a la longitud de la circunferencia de la lata.

 

Veamos si esta conjetura es cierta para los casos de la longitud de la circunferencia del CD y la del vaso:

OBJETOLONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (Lc)LONGITUD DE DIÁMETRO (LD)π1
LATA32 cm.10,1 cm.3,168
CD39 cm.12,3 cm.3,17

 

  • Probemos primero con el CD:
    • Al multiplicar 12,3 por 3,17 (Ld x π1) el resultado es 38,991 si aproximamos este número a la unidad más cercana obtenemos 39, que es la longitud de la circunferencia del CD. En este caso, también se cumple que la longitud de la circunferencia del CD se obtiene multiplicando la longitud del diámetro por un valor aproximado de pi (π).
  • Veamos que sucede con el vaso:
    • Si multiplicamos 7,4 por 3,175 (Ld x π1) el resultado es 23,495, aproximando a la décima más cercana  se obtiene 23,5. En este caso también se cumple que la longitud de la circunferencia del vaso es igual a la longitud del diámetro multiplicada por el valor de pi (π).

 

Fórmula de la longitud de una circunferencia

Efectivamente, tal y como hemos visto en cada uno de los casos anteriores la longitud de una circunferencia se define como la multiplicación de la longitud del diámetro por el valor de pi (π).

Cómo hallar área de un círculo

  • Lc: Longitud de la circunferencia.
  • Ld: Longitud del diámetro.
  • π: Valor de pi.

 

Problemas de longitud de una circunferencia

  • Problema 1:
    • La rueda de una camioneta tiene 85cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido la camioneta cuando la rueda ha dado 65 vueltas?
      • Para responder a la interrogante lo primero que debemos saber es cuál es la longitud de la circunferencia de la rueda de la camioneta. Para conocer este dato utilizaremos la ecuación de la longitud de la circunferencia que acabamos de deducir.

 

OPERACIÓNEXPLICACIÓN
Lc = Ld x πEcuación para calcular la longitud de una circunferencia.
Lc = 170 cm x πCalculamos el valor de la longitud del diámetro que es igual a dos veces la longitud del radio. Esto es, Ld = 2 x 85 cm = 170 cm.
Lc = 170cm x 3,14Utilizamos como valor aproximado de π el 3,14 y lo sustituimos en la ecuación.
Lc = 533,8 cmMultiplicamos la longitud del diámetro por el valor de π.

 

      • Ya sabemos que la longitud de la rueda de la circunferencia es 533,8 cm. Ahora para determinar cuánto ha recorrido la rueda al dar 65 vueltas, multiplicamos la longitud de la circunferencia de la rueda por 65. Esto es;
      • 65 x 533,8 cm = 34.697 cm
      • Entonces la rueda al dar 65 vueltas recorre una distancia de 34.697 cm.

 

  • Problema 2:
  • Calcula el radio de una circunferencia de 68, 5 cm de longitud.
  • En este problema debemos calcular longitud del radio sabiendo la longitud de la circunferencia. De igual manera utilizaremos la ecuación de la longitud de la circunferencia.

 

OPERACIÓNEXPLICACIÓN
Lc = Ld x πEcuación para calcular la longitud de una circunferencia.
68,5 cm = Ld x 3,14Sustituyendo el valor de la longitud de la circunferencia y el valor de pi en la ecuación.
68,5 cm ÷ 3,14= Ld Transponiendo el valor de pi al primer miembro de la ecuación. Recuerda que si un término está en uno de los miembros multiplicando lo pasamos al otro miembro dividiendo.
Ld = 21,82 cmDividiendo 68,5 cm ÷ 3,14.
Lr = 21,82 ÷ 2La longitud del radio (Lr) es igual a la mitad de la longitud del diámetro.
Lr = 10,91 cmDividiendo 21,82 cm ÷ 2

 

  • El radio de la circunferencia de longitud 68,5 cm es 10,91 cm.

 

 

Área de un círculo

Al ser el círculo una figura plana es posible calcular su área. Esta idea es muy importante porque permite resolver una gran cantidad de problemas geométricos.

El área de un círculo es igual al producto de A y el cuadrado del radio del círculo. Esto es:

Área de un círculo

 

Problemas de área de un círculo

  • Problema 1:
    • ¿Cuál es el área de un círculo 12 cm de diámetro?
      • Para responder a esta pregunta utilizaremos la ecuación del área de un círculo.
OPERACIÓNEXPLICACIÓN
A = π x r²Ecuación para calcular el área de un círculo.
A = 3,14 x r²Sustituyendo el valor de pi en la ecuación.
A = 3,14 x (6cm)²Sustituyendo el valor del radio, que es igual a la mitad del diámetro. Es decir,  12 cm ÷ 2 = 6 cm.
A = 3,14 x 36 cm²Resolviendo la potencia.
A = 113,04 cm²Realizando la multiplicación.

 

      • Entonces, el área del círculo de diámetro 12 cm es 113,04 cm2.

 

  • Problema 2:
    • En un centro de impresiones hacen etiquetas para discos de música de forma que se cubra la parte superior del CD. Si se sabe que el radio mayor mide 6,1 cm y el menor 0,9 cm aproximadamente, ¿cuál es el área que cubre la etiqueta?
      • En la imagen tenemos una representación del CD del que se habla en el problema. En este caso para conocer cuál es el área que cubre la etiqueta, calcularemos tanto el área del círculo cuyo radio es 6,1 cm (círculo mayor) como el área del círculo de radio 0,9 cm (círculo menor).

Calcular el área de un círculo

 

      • Primero calcularemos el área del círculo mayor (A1).
OPERACIÓNEXPLICACIÓN
A1 = π x r²Ecuación para calcular el área de un círculo.
A1 = 3,14 x (6,1cm)²Sustituyendo el valor de pi y el del radio en la ecuación.
A1 = 3,14 x 37,21 cm²Resolviendo la potencia.
A1 = 116,84 cm²Realizando la multiplicación.

 

      • Ahora calcularemos el área del círculo menor (A2)
OPERACIÓNEXPLICACIÓN
A2 = π x r²Ecuación para calcular el área de un círculo.
A2 = 3,14 x (0,9cm)²Sustituyendo el valor de pi y el del radio en la ecuación.
A2 = 3,14 x 0,81 cm²Resolviendo la potencia.
A2 = 2,54 cm²Realizando la multiplicación.

 

      • A continuación restaremos el área del círculo mayor menos el área del círculo menor. De esta manera sabremos cuál es el Área que cubre la Etiqueta (Ae).
        • Ae  = A1 – A2 = 116,84 cm2 – 2,54 cm2 =  114,3 cm2.
      • De esta manera el área que cubre la etiqueta es 114,3 cm2.