Juegos de números y operaciones
Números y operaciones
¿Matemáticas? ¿Números? ¿Cuentas?…
Muchas veces al surgir estas palabras en el trabajo, en una conversación, en el colegio, en la televisión… siempre pensamos en calculadoras y en notas de la evaluación, normalmente con cara de malas noticias. Sin embargo, se nos olvida que todo a nuestro alrededor está formado y explicado a través de las matemáticas.
Por ejemplo: el recuento de lo que sucede dentro de nuestro cuerpo y qué tiene, las cosas que nos pasan a lo largo del día, cada vez que contamos o repartimos, cuándo compramos algo, al pagar o echar cuentas entre amigos y, algo menos común, en los nuevos lenguajes que van surgiendo gracias a las tecnologías de la comunicación y la información: códigos informáticos, códigos de barras, etc.
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Empecemos con lo básico: Los números
Los números son grafías universales. No todo el mundo escribe las palabras con las mismas grafías; pero a la hora de la escritura de números, esto no sucede. Un 3 es así en la mayor parte del planeta y, aunque lo nombremos de muchas formas (tres, three, trois, …), al escribirlo se entiende seamos de donde seamos, no falla. Da igual si hablamos de números naturales, números enteros, números racionales (números decimales o no), incluso, al nombrar a los complicados números irracionales: son conocidos en todas partes.
Una vez que sabemos el “alfabeto de números” (todo empieza con 10 dígitos), llega la hora de especializarnos y conocerlos un poco más.
Agrupando números. Unidades, decenas , centenas.
Se pueden hacer agrupaciones de 10 en 10 unidades para tener decenas; las cuales darán lugar a las centenas; para pasar a las unidades de millón, decenas de millón, centenas de millón, etc.
Una vez que le cogemos el truco, pasamos a clasificarlos y marearlos.
Clasificando números. Números naturales, números impares, números decimales, etc.
Si nos paramos a pensar un poco, conocemos un montón de maneras diferentes de hacer amigos entre los números. Un 20 puede participar en la fiesta de los números naturales, números pares, números decimales, números compuestos, números decimales. Aunque en otras fiestas no es bienvenido: no le verás entre números impares, números primos, ni números cuadrados, por ejemplo.
Te preguntarás porqué. Para saberlo hay que pararse un momento a ver cada uno estos “clubs de números”, al menos los que nos interesan en las etapas del sistema educativo a los que hace mención, fundamentalmente, Mundo Primaria.
Para empezar, tenemos la clasificación más obvia y que ya se ha mencionado anteriormente: los números naturales es el club más antiguo y lo utilizamos para contar los elementos de un conjunto, seguimos con los números enteros que admiten a los naturales y también incluyen a los negativos (esos que no nos gusta ver en rojo e indican que nos falta algo). Después, llegamos a los números racionales que son más abiertos y admiten a los otros dos y, además incluyen a las fracciones; entre estos, se encuentran los números decimales (un poquito más adelante, los retomaremos para aclarar algunas cosillas). No podemos olvidarnos, aunque en Primaria no tienen muchos conocidos, de un grupo muy exclusivo y separado de los anteriores que conforman los números irracionales (el número π es uno de sus más famosos miembros). Por último, es importante señalar que, al igual que el conjunto de las personas formamos la humanidad, si juntamos todos los grupos nombrados forman los números reales.
Otro posible club sería los números pares e impares: el estar en una categoría u otra, depende de si la cantidad que representa cada número puede organizarse por parejas (números pares) o no (números impares).
Siguiendo con las agrupaciones, nos encontramos con Eratóstenes y su famosa Criba. Ambos dan lugar a otra clasificación: ser primo o compuesto. El hecho de pertenecer a un grupo u otro depende de si se pueden dividir (números compuestos) o no (números primos) entre otros de tal manera que la división sea exacta.
Tenemos también un grupito de números muy curioso: los números cuadrados que no son otros que los cuadrados perfectos. Este nombre, un tanto pretencioso, hace referencia a aquellos números cuyas raíces cuadradas son exactas y sus resultados números naturales. Véase el caso del 144 que emparenta con su potencia 122 o uno muy sencillito y archiconocido: el 4. Seguro que sabes qué potencia cuadrada sería.
Este breve recorrido por algunas agrupaciones de números nos lleva a pensar como uno sólo de ellos es flexible e incluible en diferentes “clubs” y da alguna pista de eso que comentábamos antes sobre la multitud de cosas que nos permiten hacer. Los números sirven para desarrollar muchas capacidades intelectuales e, incluso, emocionales: ¿quién no ha sentido nunca el orgullo y la autocomplacencia de felicitarse cuando, tras mucho marear números y a uno/a mismo/a, ha dicho: “Eureka, ya lo tengo”? ¡Es una sensación más que estupenda!
Mareando números: Descomposición de números.
Igual que las matemáticas pueden llevarnos hasta el mareo y la frustración, nosotros/as también podemos devolvérsela. ¿Cómo?, dirás. Pues jugando con ellos y haciendo multitud de operaciones, cambios y transformaciones. Algunas de estas cosas serían las siguientes:
Empecemos, simplemente por una cuestión de currículo escolar, con la descomposición de números: algo parecido a separarlos por piezas.
No hay que olvidarse de dos opciones dispares: la aproximación de números o la comparación de números. La aproximación de números, más propensa a hacer parecer a uno como si fuese otro por su cercanía en cantidad o cercanía en la recta real, según se quiera decir. La comparación de números, más dada a convertir cada pareja de números en el hermano mayor y el menor para hacer destacable la diferencia entre ellos o una vez más por su posición en la citada recta real.
De todas formas, no solo se pueden marear, también se pueden ordenar. De esto se encargan los números ordinales: son algo así como los números naturales perseguidos por un circulito en una bandeja y con una nomenclatura que da problemas a la hora de decidir si se dice así o de otra forma. Ejemplo: ¿cómo se dice 57º?… Tiene para pensar un buen rato, ¿verdad? La respuesta (por si tienes que comparar con lo que pensabas o te has mareado de verdad) es quincuagésimo séptimo. ¡Ahí queda eso!
Dejemos al pobre 57º pidiendo un nombre más sencillo y avancemos; pues resulta oportuno dedicarle un espacio a uno de los conjuntos de números que nos quiebra la cabeza cuando los vemos en el papel, pero que los utilizamos constantemente en nuestro día a día. Estamos hablando de los números racionales o como se les viene a conocer en los colegios de un tiempo a esta parte: las fracciones.
¿Las fracciones? ¿Qué son?
Las fracciones son aquellos “quebrados” de antes que cambiaron de nombre para intentar lavar su imagen debido al fastidio doble que han provocado generación tras generación de estudiantes (¡la guerra que seguirán dando se llamen como se llamen!). Con ellos, tenemos un fastidio doble, ya que vamos a tocar a poco y, encima, debemos aprender las piruetas y pasos de baile que van marcando.
Por si aún no caes en cómo son estos números y prefieres conocerlos un poco para pasar todos los niveles de los juegos a la primera, te propongo que continúes esta andadura por el mundo de las matemáticas. Seguro que no te dejará indiferente y, ¿quién sabe?, puede que le cojas el truquillo y te vuelvas fan de las fracciones.
En toda presentación, lo primero que nos llega es el aspecto y el nombre. En este caso, serían los términos de la fracción y la lectura de la fracción, sea la que sea. Para pasar a la siguiente fase de conocimiento, al acabar este párrafo, verás una imagen con los términos de la fracción y unas pocas fracciones a modo de ejemplo. Después, si quieres, puedes probar los juegos diseñados por Mundo Primaria para que veas que ya las vas conociendo.
Una vez terminada la presentación inicial, es interesante seguir con su origen o, lo que es lo mismo, el concepto de fracción. Cuando utilizamos este término la palabra que se nos debería venir a la cabeza es división. Una fracción es el cociente entre dos números, es un reparto. Como en todo buen reparto, unas veces se toca a más y otras a menos, lo que da lugar a los distintos tipos de fracciones.
Las fracciones impropias (el numerador mayor que el denominador) que dan lugar a los números mixtos o fracciones mixtas (composición de un número entero y uno fraccionario), las fracciones propias (el numerador menor que el denominador), las fracciones decimales (el denominador siempre es la unidad seguida de ceros, dan lugar a los famosos números decimales), las fracciones equivalentes (estas no se pelean y siempre empatan al compararse porque valen lo mismo), las fracciones irreducibles que suponen ser fracciones simplificadas al máximo. Por si es demasiada información y una imagen vale más que mil palabras, aquí tienes unos ejemplos de todas:
Al igual que con el resto de los números, con las fracciones también podemos hacer comparaciones, hallar la fracción de un número y, ¡cómo no!, operarlas. Las más que temidas operaciones con fracciones.
Empezando por la suma de fracciones y la resta de fracciones, diremos que el paso más complejo es la reducción a común denominador (para hacer estas operaciones los denominadores han de ser iguales y se echa mano de fracciones equivalentes, las que valen lo mismo). Así tenemos dos opciones: una más sencilla, suma y resta de fracciones con igual denominador, y una más compleja (con más pasos) suma y resta de fracciones con distinto denominador.
Una vez que sabemos sumar y restar, multiplicar y dividir es sencillo.
Para las multiplicaciones de fracciones se utiliza una expresión en Primaria que es: multiplicamos en línea (los numeradores por un lado y los denominadores por otro).
Para las divisiones de fracciones se utiliza igualmente otra expresión: multiplicamos en cruz. En este caso más que en el otro se entiende mejor con un ejemplo con flechitas.
Para terminar con ellas aquí, porque jugando podéis empezar cuando quieras y repetir las veces que os parezca. Da igual que seas estudiante de Primaria, padre, madre, profesor/a,… los juegos nos gustan a cualquier edad y no dejan indiferente a nadie. Quién sabe, puede que tú seas el/la próximo/a que diga: “¡Eureka, ya lo tengo!” o una exclamación similar.
Operaciones con números de todo tipo
Una vez conocidos, llega el momento de operarlos. La palabra suena a medicina y, de hecho, puede hacerse una analogía: un buen médico estudia el caso y al paciente para operarle con éxito. Pues bien, nosotros hemos estudiado y conocido un poco mejor a los números para operarlos con grandes resultados que más tarde se pueden comprobar con todas las opciones que ofrece Mundo Primaria.
Desde antes de ir al colegio, ya nos enseñan a contar, aunque sean los años que cumplimos. Pues, desde este momento, ya empezamos a ser unos expertos y nos preparamos para manejarlos… operarlos.
Al sumar, vamos añadiendo caramelos y practicamos la resta cuando nos los comemos. Nos encanta hacer multiplicaciones para aumentarlos y, de vez en cuando, sacamos el cociente de alguna división para saber a cuántos dulces tocamos en un reparto. Todo esto no es más que hacer cuentas con sus toques de contextualización, convirtiéndose así en problemas de sumas y restas; problemas de multiplicación; y problemas en los que aprendemos cómo se hacen las divisiones.
Empecemos con tres operaciones básicas: La suma, la resta y la multiplicación
No siempre resulta tan fácil calcular, ya que cada operación tiene sus reglas de juego y no todo vale. En general, tienen lo que llamamos propiedades. En Primaria, ya vemos algunas de ellas:
La propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación: da igual el orden de los términos, el resultado es el mismo. Igualmente, la propiedad asociativa de la multiplicación y de la suma: ante varios sumandos/factores, da igual cuáles unas para empezar a operar porque el resultado no varía. Por último, el elemento neutro: 1 ó 0, según el caso.
La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma es algo más compleja y es mejor verla con un ejemplo directamente:
A partir de aquí, se trata de hacer sumas con llevadas o sin llevadas, sumas con decimales, restas con diferentes procedimientos, multiplicaciones o sumas con decimales, restas en horizontal o vertical, multiplicaciones para practicar la propiedad distributiva, etc. Además, da igual si el formato es de juego, de ejercicio de lápiz, cálculo mental, etc. En fin, un abanico amplio de posibilidades como podrás comprobar al entrar en los juegos y demás recursos de Mundo Primaria.
¿Se nos han olvidado las divisiones?
La respuesta es NO con mayúsculas. No se nos habían olvidado: Los juegos de divisiones también tienen cabida e importancia en Mundo Primaria, pues resultan un poco más complicadas a veces y no siempre son muy divertidas. A ver si en esta recta final de nuestro repaso por el bloque de Números y operaciones, refrescamos y consolidamos algunos datos que pueden venir muy bien.
Como en el caso de las fracciones, comencemos con su presentación diciendo que los términos de la división son, además del cociente y del resto, el dividendo y el divisor. Los términos dan lugar a las llamadas divisiones de una cifra (divisor con un solo dígito), divisiones de dos cifras (divisores de dos dígitos), divisiones con decimales en el dividendo y/o en el divisor, etc.
¿Te has fijado la cantidad de veces que aparece el divisor? La importancia de los dividendos y los divisores se encuentra en la dificultad a la hora de calcular según como sean. Además, conociéndolos y sabiendo los criterios de divisibilidad ya se pueden decir cosas del cociente y el resto. A continuación, vas a ver el desarrollo de cómo hacer divisiones de algunos tipos y una tabla con los criterios de divisibilidad que más se ven en Primaria.
También hay una distinción entre las divisiones que, en Primaria, se hace hincapié: las divisiones enteras (el cociente y el resto son números enteros) y se especifica que cuando el resto es cero, no solo es entera, es una división exacta.
Por último, una regla o propiedad de la división que nos viene muy bien cuando no estamos muy seguros/as de si no nos habremos despistado en algún calculo: la prueba de la división. La mejor forma de verla es como en los libros de texto, algo como lo siguiente:
DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO
D = d x c + r
Si quieres intenta ver si se cumple con las divisiones que hicimos anteriormente. ¿Estarán bien?
¿Nos falta algo? ¿Ya está todo?…
Nos faltan muchísimas cosas. Las matemáticas son unas ciencias muy amplias con varias ramas que, a su vez, tienen multitud de cosas curiosas, abstractas, complejas y fascinantes por conocer. Sin embargo, hemos recorrido buena parte (nos quedan las raíces cuadradas, las descomposiciones factoriales, las potencias,…) de todo lo que supone el bloque de Números y operaciones de Educación Primaria. ¿Quién sabe? Tal vez tengamos la oportunidad de compartir estos y otros contenidos en otra ocasión.
Lo que sí es seguro, es que, si entráis en Mundo Primaria con la intención de practicar las matemáticas o de que lo hagan vuestros/as hijos/as, nietos/as, amigos/as, alumnos/as, …, vas o van a encontrar todo lo que hemos tratado y mucho más.
